Beweis mit element. Gesetzen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründen Sie mit Hilfe der in Aufgabe 1 von Arbeitsblatt 1 formulierten Eigenschaften (Gesetze) von ganzen Zahlen:
1. Sei [mm] x\in\IN [/mm] , d. h. eine positive ganze Zahl, und y = x - 20. Dann ist die Menge gT(x, y) der gemeinsamen Teiler von x und y enthalten in der Menge T(20) der Teiler von 20.
Ist jeder Teiler von 20 notwendigerweise auch ein gemeinsamer Teiler von x und y?
Begründen Sie Ihre Antwort!
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Besagte Gesetze:
Für alle ganzen Zahlen a, b, c gilt
a + 0 = a, a · 1 = a, (Neutralität der 0 bzw. 1 )
0 < 1 , (Vergleichbarkeit von 0 und 1 )
1 + (−1) = 0 , 0 − a = (−1) · a , (Subtraktion durch Vorzeichen von 1 )
a + b = b + a, a · b = b · a, (Kommutativität von + bzw. · )
2a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c, (Assoziativität von + bzw. · )
a · (b + c) = (a · b) + (a · c) . (Distributivität von · mit + )
Wenn a + b = a + c , dann gilt b = c . (Kürzbarkeit für + )
Wenn a · b = a · c, a 6= 0 , dann gilt b = c . (Kürzbarkeit für · )
Wenn 0 < a , dann gilt a 6= 0 . (Irreflexivität von < )
Wenn a < b und b < c , dann gilt a < c . (Transitivität von < )
Wenn a < b , dann gilt a + c < b + c . (Verträglichkeit von < mit + )
Wenn a < b und 0 < c , dann gilt a · c < b · c . (pos. Verträglichkeit von < mit · )
Wenn a < b und c < 0 , dann gilt b · c < a · c . (neg. Verträglichkeit von < mit · ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Heyho :)
Ich hoffe mal das ich das in das richtige Unterforum geschrieben habe, aber die Übungsaufgabe ist aus dem Modul Diskrete Strukturen.
Ich muss zugeben dass ich mir etwas dumm vorkomme bei einer wahrscheinlich elemtaren Aufgabe schon Hilfe zu brauchen, aber vielleicht könnt ihr mir mit dem Einstieg in die Hochschulmathematik etwas helfen. :)
Aus der Aufgabenstellung geht ja hervor das gT(x, y) [mm] \subseteq [/mm] T(20)
Und nun soll man prüfen ob T(20) [mm] \subseteq [/mm] gT(x, y).
Ich bin der Meinung dass die Behauptung falsch ist. Da T(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} umfasst könnte man das ja leicht mit einem Gegenbeispiel beweisen.
Z.Bsp. x = 21 --> y = 1 --> gT(x, y) = {1}
Also ist in diesem Fall T(20) [mm] \not\subseteq [/mm] gT(x, y) und die Behauptung ist somit falsch.
Jedoch muss man das ganze in dieser Aufgabe ja mit obigen Regeln beweisen und ich hab keine Vorstellung davon wie überhaupt der Ansatz wäre D:
Kann mir vielleicht Jemand einen Ansatz oder Herangehensweise für diese Aufgabe erklären? Ich habe bisher nie mit Beweisaufgaben zu tun gehabt und bin gerade etwas überfordert.
Ich wollte auch noch fragen ob bei den Teilern von 20 ebenfalls negative Zahlen mit inbegriffen sind?
Schon mal vielen Dank :)
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Hiho,
> Aus der Aufgabenstellung geht ja hervor das gT(x, y) [mm]\subseteq[/mm] T(20)is
Ich denke mal, dass das zu zeigen ist.
> Und nun soll man prüfen ob T(20) [mm]\subseteq[/mm] gT(x, y).
Das kommt hinzu.
> Ich bin der Meinung dass die Behauptung falsch ist. Da
> T(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} umfasst könnte man das ja
> leicht mit einem Gegenbeispiel beweisen.
Korrekt.
> Jedoch muss man das ganze in dieser Aufgabe ja mit obigen
> Regeln beweisen und ich hab keine Vorstellung davon wie
> überhaupt der Ansatz wäre D:
Das liegt an der schlechten Aufgabenstellung.
Eine Aussage widerlegt man am Besten immer mit einem Gegenbeispiel.
Einzig, wenn man nicht so leicht eins konstruieren kann, sollte man auf andere Wege zurückgreifen. Von daher ist dein Weg schon korrekt.
Allerdings würde ich die Aufgabenstellung anders verstehen: Es ist dir nicht gegeben, dass $gT(x, y) [mm] \subseteq [/mm] T(20)$, warum sollten sie dir das auch schenken, wenn du es mit Hilfe der Gesetze selbst zeigen kannst? 
Und genau da liegt der Hase im Pfeffer begraben: Obige Mengeninklusion sollst du mit den Gesetzen zeigen, die zweite dann leicht mit einem Gegenbeispiel widerlegen 
> Ich wollte auch noch fragen ob bei den Teilern von 20
> ebenfalls negative Zahlen mit inbegriffen sind?
Kommt drauf an, wie ihr das definiert habt
Aber von der formalen Definition her ist es sofort klar, dass wenn ein Teiler T eine Zahl teilt, dann auch -T so dass sowohl T als auch -T immer zur Menge der Teiler gehören.
Man könnte sich aber auch auf die nur positiven Teiler beschränken......
Gruß,
Gono
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Vielen Dank für die schnelle Antwort! :)
Ok dann werde ich meine Antworten anpassen und versuchen noch die Teilmenge zu beweisen.
(Ich hoffe mal dass "Mitteilung" die richtige Auswahl ist. Ich komme mit dem Forum noch nicht ganz zurecht ;)
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