Beweis mit kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
1. Für alle c,a1,...,an [mm] \in [/mm] Z \ {0} gilt
[mm] kgV(c*a_{1},...,c*a_{n}) [/mm] = |c| * kgV [mm] (a_{1}...,a_{n})
[/mm]
2. Sind [mm] a_{1},...,a_{n} \in [/mm] Z \ {0} paaweise teilerfremd, so gilt kgV [mm] (a_{1},...a_{n}) [/mm] = [mm] |a_{1}*,a_{2}*...*a_{n}| [/mm] |
Also ich komme da nicht wirklich auf eine Idee.
Also der kgV ist ja die kleinste Zahl [mm] \in [/mm] N die durch alle Zahlen teilbar ist und paarweise teilerfremd bedeutet, dass der ggT aller Zahlen =1 ist und auch der ggT von beliebigen 2 Zahlen =1 ist. Soweit so gut, aber damit komme ich irgendwie nicht weit.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte einen Ansatz zu finden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1. dass das ein gV ist ist klar, also nimm an es gäb ein kleineres und für das zum Widerspruch.
dasselbe für 2.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
Also sage ich quasi:
|c|*kgV(a1,...,an) ist ein gV von kgV (c*a1,...,c*an)
Angenommen es gäbe ein kleineres Vielfaches von c*a1,...,c*an
dann.... ??
Also ich weiß jetzt nicht so recht wie ich das zum Widerspruch führen kann.
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moin Catman,
Der klassische Widerspruch hier wäre:
Sei a ein anderes gemeinsames Vielfaches. [mm] $\cdots \Rightarrow \cdots$ [/mm] a ist durch dein gV teilbar.
Hattest du vielleicht bereits Primfaktorzerlegungen?
Wenn du die hattest, oder noch besser kgV über Primfaktoren definiert oder irgend wann mal bewiesen hast wäre das für diese Aufgabe sehr hilfreich.
Ansonsten überlege dir mal wie du das kgV von ein paar Zahlen ermitteln kannst, wenn du ihre Primfaktorzerlegungen kennst.
Alternativ könntest du es auch so versuchen:
Im kgV muss der Faktor |c| mindestens einmal auftauchen (wieso?).
Auf der anderen Seite reicht es, wenn er einmal auftaucht (wieso?).
Wenn du das beides zeigen kannst bist du auch fertig, denn dann hast du gezeigt, dass er genau einmal auftreten muss.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 So 04.12.2011 | | Autor: | Catman |
> moin Catman,
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> Der klassische Widerspruch hier wäre:
> Sei a ein anderes gemeinsames Vielfaches. [mm]\cdots \Rightarrow \cdots[/mm]
> a ist durch dein gV teilbar.
>
> Hattest du vielleicht bereits Primfaktorzerlegungen?
> Wenn du die hattest, oder noch besser kgV über
> Primfaktoren definiert oder irgend wann mal bewiesen hast
> wäre das für diese Aufgabe sehr hilfreich.
> Ansonsten überlege dir mal wie du das kgV von ein paar
> Zahlen ermitteln kannst, wenn du ihre Primfaktorzerlegungen
> kennst.
>
>
Also kgV über Primfaktorzerlegung definiert haben wir noch nicht. Ich weiß, dass man jede Zahl als Primfaktorzerlegung ausdrücken kann und dass nur Zahlen mit den gleichen Primfaktoren als Teiler dieser Zahl in Frage kommen.
> Alternativ könntest du es auch so versuchen:
> Im kgV muss der Faktor |c| mindestens einmal auftauchen
> (wieso?).
Also ich komm nicht wirklich drauf.
Aus der linken Seite folgt doch, wenn der kgV = x sei, dass c*a1|x ...und c*an|x gilt. Aus der rechten Seite folgt a1|x ...an|x. Oder?
Soweit ist das alles wodrauf ich komm. Nur den Zusammenhang find/seh ich nicht.
> Auf der anderen Seite reicht es, wenn er einmal auftaucht
> (wieso?).
>
> Wenn du das beides zeigen kannst bist du auch fertig, denn
> dann hast du gezeigt, dass er genau einmal auftreten muss.
>
> lg
>
> Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Catman |
nicht überfällig...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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