Beweis mittels Bernoulli Ungl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Ich soll folgendes Beweisen:
[mm] \wurzel{n} \ge [/mm] 1 + n( [mm] \wurzel{an} [/mm] - 1) mit an = [mm] \wurzel[n]{n}
[/mm]
Ich hab keine Ahnung wie ich das mit Bernoulli beweisen soll. Ich kann es mit Bernoulii beweisen muss aber nicht. Könnte es auch anders machen. Vielleicht über volls. Induktion? .. Keine ahnung.. danke schonmal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Wie lautet denn die BERNOULLI-Ungleichung? $1 + n*x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] (1+x)^n$
[/mm]
Und nun setze einfach mal für $x_$ ein:
$x \ := \ [mm] \wurzel{a_n} [/mm] - 1 \ = \ [mm] \wurzel{ \ \wurzel[n]{n} \ } [/mm] - 1 \ = \ [mm] \wurzel[\red{2}n]{n} [/mm] - 1 \ = \ [mm] \wurzel[n]{ \ \wurzel{n} \ } [/mm] - 1$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
acchssooooo.. ok.. man kann x ersetzen... alles klar.. gut danke.. das hilft mir denke ich.. vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Du musst halt lediglich die Bedingung für die BERNOULLI-Ungleichung $x \ [mm] \ge [/mm] \ -1$ einhalten, was hier ja erfüllt ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 05.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
ich hab jetzt x erstett hab aber das problem das ich nich genau weis was auf die rechte seite kommt. folgendes habe ich nach der definition für x:
1 + n * [mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}} [/mm] + n [mm] \le [/mm] ???
kommt da jetzt (1 + [mm] x)^n [/mm] und für x halt die def. von x oder kommt da das rein was ich auch beweien soll also [mm] \wurzel{n} [/mm] ??
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Hallo MissYumi,
> 1 + n * [mm]\wurzel[n]{\wurzel{n}}[/mm] + n [mm]\le[/mm] ???
Vor dem n muß ein Minus stehen.
> kommt da jetzt (1 + [mm]x)^n[/mm] und für x halt die def. von x
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> kommt da das rein was ich auch beweien soll also [mm]\wurzel{n}[/mm]
> ??
Da mußt Du natürlich erst schauen(zeigen) ob das auch wirklich rauskommt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:28 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Also soll ich zeigen das
(1 + [mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}})^n [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:47 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Es gilt: $x \ := \ [mm] \wurzel{a_n \ } [/mm] - 1 \ = \ [mm] \wurzel[n]{ \ \wurzel{n} \ } [/mm] - 1$
BERNOULLI: $1 + [mm] n*\red{x} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ (1 + \ [mm] \red{x})^n$
[/mm]
Eingesetzt: $1 + [mm] n*\left(\red{\wurzel{a_n \ } - 1}\right) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \left(1 + \ \red{\wurzel[n]{ \ \wurzel{n} \ } - 1}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel[n]{ \ \wurzel{n} \ } \ \right)^n [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
So jetzt habe ich das:
1 + n * [mm] \wurzel[n]{\wurzel{n}} [/mm] - n [mm] \le \wurzel{n}
[/mm]
1. Frage: Bin ich jetzt fertig?!
2. Frage: Das mit [mm] (\wurzel[n]{\wurzel{n}})^n [/mm] hatte ich auch, wusste aber nich das das dann nur noch [mm] \wurzel{n} [/mm] is. Hab im alten Tafelwerk geschaut ;). Wie komme ich also darauf? Ich frage fürs nächste mal. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 So 06.11.2005 | | Autor: | MissYumi |
Sorry Tippfehler. Das ganze soll heißen:
[mm] 1+n*\wurzel[n]{\wurzel{n}}-n \le \wurzel[n]{n}
[/mm]
[mm] (\wurzel[n]{\wurzel{n}})^n [/mm] ist doch [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] oder?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
In meiner vorigen Antwort stand doch bereits die fertige Lösung, Du bist also fertig!
> 2. Frage: Das mit [mm](\wurzel[n]{\wurzel{n}})^n[/mm] hatte ich
> auch, wusste aber nich das das dann nur noch [mm]\wurzel{n}[/mm] is.
Hier werden lediglich  Potenzgesetze angewandt:
[mm] $\left(\wurzel[n]{\wurzel{n}}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left( \ \wurzel{n} \ \right)^{\bruch{1}{n}} \ \right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{n} \ \right)^{\bruch{1}{n}*n} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{n} \ \right)^1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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