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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Do 16.10.2008 | | Autor: | Schetto |
| Aufgabe | Beweise mittels Induktion:
(a) Für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/k(k+1) = n/(n+1)
(b) Ist a > 0 eine Zahl mit a+1/a [mm] \in \IZ, [/mm] dann gilt für jedes n [mm] \in \IN_{0} [/mm] auch [mm] a^{n}+ 1/a^{n} \in \IZ [/mm] |
Hallo,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Hab sowas noch nie gemacht und meine Frage ist jetzt wie man vorgeht um es zu beweisen. Hab mir dazu schon paar Sachen durchgelesen und bin jetzt soweit dass ich mir bei a.) zum Beispiel in der Summenformel k-werte einsetzte und diese dann aufschreibe... und natürlich sehe ich nun auch dass es der Formel n/(n+1) entspricht.
Bloß wie beweise ich das nun genau?
zu b wäre es nett wenn mir jemand mal sagen könnte was da überhaupt gefragt ist. Ich versteh es netmal so wirklich weils wieder diese Mathematikersprache ist!
Also wenn a eine Zahl größer Null ist die mit a + 1/a eine ganze Zahl ist, dann gilt also auch dass diese Zahl a hoch n + [mm] 1/a^n [/mm] eine ganze Zahl ist!
Beispiel dafür wäre a=1 und was noch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise mittels Induktion:
> (a) Für jedes n [mm]\in \IN[/mm] gilt [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1/k(k+1) =
> n/(n+1)
> Hab mir dazu schon paar Sachen durchgelesen und
> bin jetzt soweit dass ich mir bei a.) zum Beispiel in der
> Summenformel k-werte einsetzte und diese dann
> aufschreibe... und natürlich sehe ich nun auch dass es der
> Formel n/(n+1) entspricht.
> Bloß wie beweise ich das nun genau?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Du Dir die Aussage an Beispielen klargemacht hast, ist schonmal gut.
Wie Du sie beweisen sollst, ist vorgegeben: durch vollständige Induktion?
Ist Dir das Prinzip der vollständigen  Induktion klar?
Zu tun ist folgendes:
Zeige die Gültigkeit der Aussage für n=1 (durch Vorrechnen der beiden Seiten der Gleichung). (Induktionsanfang)
Nimm an, daß die Aussage für ein [mm] n\in \IN [/mm] gilt. (Induktionsvorraussetzung)
Zeige nun, daß sie unter dieser Voraussetzung auch für n+1 gilt. (Induktionsschluß)
Im Induktionschluß mußt Du also unter Rüchgriff auf die Ind.voraussetzung vorrechnen, daß
[mm] \summe_{k=1}^{\green{n+1}}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \bruch{\green{n+1}}{(\green{n+1})+1}
[/mm]
richtig ist.
> (b) Ist a > 0 eine Zahl mit a+1/a [mm]\in \IZ,[/mm] dann gilt für
> jedes n [mm]\in \IN_{0}[/mm] auch [mm]a^{n}+ 1/a^{n} \in \IZ[/mm]
> zu b wäre es nett wenn mir jemand mal sagen könnte was da
> überhaupt gefragt ist. Ich versteh es netmal so wirklich
> weils wieder diese Mathematikersprache ist!
>
> Also wenn a eine Zahl größer Null ist die mit (a + 1)/a eine
> ganze Zahl ist, dann gilt also auch dass diese Zahl (a hoch n [mm] +1)/a^n [/mm] eine ganze Zahl ist!
Ja, so ist das gemeint.
> Beispiel dafür wäre a=1 und was noch?
Z.B. [mm] a=\bruch{1}{4711}:
[/mm]
es ist [mm] \bruch{\bruch{1}{4711}+1}{\bruch{1}{4711}}=4717 \in \IZ,
[/mm]
und für jedes n ist
[mm] \bruch{(\bruch{1}{4711})^n+1}{(\bruch{1}{4711})^n}=1+4711^n [/mm] eine ganze Zahl.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 16.10.2008 | | Autor: | Schetto |
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> Ist Dir das Prinzip der vollständigen Induktion klar?
>
Nicht wirklich, also mir ist schon klar was man versucht zu machen, zu beweisen dass es für eine Zahl n geht bzw danach auch für eine Zahl n+1, wenn ichs richtig verstanden habe. In dem ersten Beispiel dort ist das mir auch eingeleuchtet aber das war auch recht einfach.
>
> Im Induktionschluß mußt Du also unter Rüchgriff auf die
> Ind.voraussetzung vorrechnen, daß
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\green{n+1}}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] =[mm]\bruch{\green{n+1}}{(\green{n+1})+1}[/mm]
>
> richtig ist.
>
Aber ist es das? Vllt habe ich ja auch einen Denkfehler drin oder es falsch verstanden aber ich bilde die Summe von k=1 bis n+1...
Somit habe ich doch:
[mm]\bruch{{1}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{{1}}{({n+1})((n+1)+1)}[/mm]
oder? :-(
>
> Z.B. [mm]a=\bruch{1}{4711}:[/mm]
>
> es ist [mm]\bruch{\bruch{1}{4711}+1}{\bruch{1}{4711}}=4717 \in \IZ,[/mm]
>
> und für jedes n ist
>
> [mm]\bruch{(\bruch{1}{4711})^n+1}{(\bruch{1}{4711})^n}=1+4711^n[/mm]
> eine ganze Zahl.
>
Ok die Rechnung lecuhtet mir auch ein, aber wie kommt man auf die Zahl. Denke muss erstmal a.) verstehen um zu wissen wie ich an b.) rangehe.
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> > Im Induktionschluß mußt Du also unter Rüchgriff auf die
> > Ind.voraussetzung vorrechnen, daß
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{\green{n+1}}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
> =[mm]\bruch{\green{n+1}}{(\green{n+1})+1}[/mm]
> >
> > richtig ist.
> >
>
> Aber ist es das? Vllt habe ich ja auch einen Denkfehler
> drin oder es falsch verstanden aber ich bilde die Summe von
> k=1 bis n+1...
> Somit habe ich doch:
>
>
> [mm]\bruch{{1}}{2}[/mm] + [mm]\bruch{{1}}{({n+1})((n+1)+1)}[/mm]
>
>
> oder? :-(
Hallo,
wo kommt Dein [mm] \bruch{{1}}{2} [/mm] her?
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{\green{n+1}}\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\n}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+1+1)}
[/mm]
= ... + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)}
[/mm]
Für ... kannst Du die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
=
>
>
>
> >
> > Z.B. [mm]a=\bruch{1}{4711}:[/mm]
> >
> > es ist [mm]\bruch{\bruch{1}{4711}+1}{\bruch{1}{4711}}=4717 \in \IZ,[/mm]
>
> >
> > und für jedes n ist
> >
> > [mm]\bruch{(\bruch{1}{4711})^n+1}{(\bruch{1}{4711})^n}=1+4711^n[/mm]
> > eine ganze Zahl.
> >
>
> Ok die Rechnung lecuhtet mir auch ein, aber wie kommt man
> auf die Zahl.
Es gibt noch viel mehr Zahlen, für die das gilt.
Die zu finden ist aber gar nicht das Thema der Aufgabe.
Sondern: wenn man irgendeine Zahl a>0 vorgelegt bekommt, für die [mm] \bruch{a+1}{a} [/mm] ganz ist, dann ist auch [mm] \bruch{a^n+1}{a^n} [/mm] ganz, und zwar für jede natürliche Zahl n.
Gruß v. Angela
Denke muss erstmal a.) verstehen um zu wissen
> wie ich an b.) rangehe.
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