Beweis per voll. Induktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Do 27.10.2005 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute!
Also ich habe folgendes Problem:
Ich soll zeigen, dass für alle n [mm] \ge1 [/mm] gilt:
[mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+...+\bruch{1}{2n-1}-\bruch{1}{2n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}+\bruch{n+2}+...+\bruch{2n}.
[/mm]
Also ich habe diesen Ausdruck erstmal umgewandelt in:
[mm] \summe_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n}\bruch{1}{k}
[/mm]
Das versuche ich nun per Vollständige Induktion zu beweisen:
Induktionsanfang :setze n=1, passt!
.
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Induktionsschritt ::
Hier kommeich nun auf folgendes:
[mm] \summe_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k} =1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+...+\bruch{1}{2(n+1)-1}-\bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
ist aber auch:
[mm] \summe_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}+\summe_{k=2(n+1)}^{2(n+1)}\bruch{1}{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1}\bruch{1}{k}+\bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
Daraus folgt aber, dass
[mm] \bruch{1}{2(n+1)-1}-\bruch{1}{2(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2(n+1)}
[/mm]
Das passt irgenwie nicht.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Danke
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Hallo Eduard!
Sieh doch mal hier - da wurde die Frage schon einmal gestellt.
viele Grüße
Bastiane
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