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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Vicky89 |
Sei [mm] $M:=\{ B\subset \Omega: B \ \text{oder} \ B^C \ \text{ist abzählbar} \ \}$
[/mm]
[mm] $\Omega\not=\emptyset$
[/mm]
$M$ ist [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] bereits bewiesen.
Warum gilt [mm] $M=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] für abzählbares [mm] $\Omega$ [/mm] ?
Habe weder Komplement noch Omega als Symbol gesehen, ich hoffe, es ist trotzdem verständlich.
Ich habe im Moment noch keine Idee, vielleicht kann mir jemand einen Ansatz geben.
Würde mich freuen.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 28.10.2010 | | Autor: | m0ppel |
Vielleicht hilft dir hier schon die Definition der Potenzmenge weiter und vergleiche die dann mal mit deiner Definition für M
[mm]\mathcal{P}(\Omega):= \{U | U\in \Omega \}[/mm], d.h. in der Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] sind alle Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] enthalten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Do 28.10.2010 | | Autor: | Vicky89 |
Hi,
erstmal danke für die Antwort.
hmm... ich weiß nicht. wenn ich das miteinander vergleiche, fällt mir jetzt nur auf, dass
$ [mm] \mathcal{P}(\Omega):= \{U | U\in \Omega \ } [/mm] $
U abzählbar sein muss, wenn [mm] \Omega [/mm] abzählbar.
aber B ist ja nur eine Teilmenge von [mm] \Omega...
[/mm]
Hmm.. ich kann meine Gedanken grade schlecht sortieren...
Aber wirklich weiter komme ich glaube noch nicht und am Ende merke ich sicher wieder, wie einfach es eigentlich war.
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Huhu,
eins vorweg:
Du meintest sicher die Menge $ [mm] M:=\{ B\subset \Omega: B \ \text{oder} \ B^C \ \text{ist höchstens abzählbar} \ \} [/mm] $
Ist ein kleiner, aber bedeutender Unterschied! Ansonsten ist es nämlich keine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Offensichtlich gilt [mm] $M\subset \mathcal{P}(\Omega)$
[/mm]
Nun zu deiner Frage: Ist [mm] \Omega [/mm] abzählbar, so gilt für jedes [mm] $B\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ja [mm] $B\subset \Omega$ [/mm] und damit gilt für B..... na den Rest schaffst du auch, dass am Ende [mm] $M=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] dasteht.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Do 28.10.2010 | | Autor: | Vicky89 |
danke euch allen.. aber ich komem einfach nicht drauf...tut mir leid.. ich hatte mir die argumente vorher auch schon so aufgeschrieben, wie du es mir geschickt hast, nur finde ich den sinn nicht...
$ [mm] B\in\mathcal{P}(\Omega) [/mm] $
$ [mm] B\subset \Omega [/mm] $
das einzige was mir dazu einfällt ist
B [mm] \in [/mm] M
$ [mm] M\subset {P}(\Omega)$
[/mm]
und wie ich hierauf schließen soll, weiß ich nicht...
$ [mm] M=\mathcal{P}(\Omega) [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist das denn wirklich so schwierig ?
Es war:
$ [mm] M:=\{ B\subset \Omega: B \ \text{oder} \ B^C \ \text{ist höchstens abzählbar} \ \} [/mm] $
und [mm] \Omega [/mm] höchstens abzählbar.
Behauptung: $ M = [mm] {P}(\Omega) [/mm] $
Die Inklusion $ M [mm] \subset {P}(\Omega) [/mm] $ dürfte klar sein.
Nun sei B [mm] \in {P}(\Omega). [/mm]
[mm] \Omega [/mm] höchstens abzählbar und B ist eine Teilmenge von [mm] \Omega.
[/mm]
Was weißt Du über Teilmengen von höchstens abzählbaren Mengen ?
Ist B höchstens abzählbar oder ist B überabzählbar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Do 28.10.2010 | | Autor: | Vicky89 |
ja B ist dann auch abzählbar, das hatte ich mir auch schon neben dran geschrieben...(übrigens steht in meiner aufgabe auch nur abzählbar und nicht höchstens, aber es soll auf jeden fall eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra sein) aber was hilft mir das um weiter zu kommen?
tut mir leid, wenn ich mich doof anstelle, aber irgendwie sehe ich einfach nicht den zusammenhang um auf [mm] M\subset P(\Omega) [/mm] zu kommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja B ist dann auch abzählbar, das hatte ich mir auch schon
> neben dran geschrieben...(übrigens steht in meiner aufgabe
> auch nur abzählbar und nicht höchstens, aber es soll auf
> jeden fall eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra sein) aber was hilft mir
> das um weiter zu kommen?
Wenn B abzählbar ist, dann ist doch (nach Definition von M) B ein Element von M !!!!!!!!!!!
Also: [mm] {P}(\Omega) \subset [/mm] M
> tut mir leid, wenn ich mich doof anstelle, aber irgendwie
> sehe ich einfach nicht den zusammenhang um auf [mm]M\subset P(\Omega)[/mm]
> zu kommen...
>
>
[mm]M\subset P(\Omega)[/mm] gilt doch trivialerweise !!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Do 28.10.2010 | | Autor: | Vicky89 |
ja irgendwie kam ich nicht auf
$ [mm] {P}(\Omega) \subset [/mm] $ M
obwohl es logisch ist..jaa..
manchmal komme ich auf die banalsten sachen nicht...
in meiner frage vorhger hatte ich mich verschrieben, dass $ [mm] M\subset P(\Omega) [/mm] $ gilt, wusste ich ja. sollte eigentlich ein gleichheitszeichen werden.
danke für die hilfe und tut mir leid, für die blöden fragen.. aus irgendeinem grund habe ich wohl nicht richtige darüber nachgedahct
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Do 28.10.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> .(übrigens steht in meiner aufgabe
> auch nur abzählbar und nicht höchstens, aber es soll auf
> jeden fall eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra sein)
Dann ist es aber keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] mehr.... sollte man vielleicht mal drauf hinweisen 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielleicht hilft dir hier schon die Definition der
> Potenzmenge weiter und vergleiche die dann mal mit deiner
> Definition für M
> [mm]\mathcal{P}(\Omega):= \{U | U\in \Omega \}[/mm], d.h. in der
> Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] sind alle Teilmengen von [mm]\Omega[/mm]
> enthalten.
Dann schreib das bitte auch richtig, sonst ist die Person, der Du helfen möchtest noch mehr verwirrt:
[mm]\mathcal{P}(\Omega):= \{U | U\subseteq \Omega \}[/mm],
FRED
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