Beweis sinhx und arsinhx < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
| Aufgabe 1 | Begründen Sie:
a) Die Inverse von sinh x (genannt ar sinh x = area sinus hyperbolicus von x) ...ist im Rellen überall definiert und stetig |
| Aufgabe 2 | | b) ...besitzt die Ableitung (ar sinh x)' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2+ 1}} [/mm] |
Ich hab mich an der Ableitung versucht bin allerdings gescheitert. Hab eine normale Ableitung versucht. Zu a) habe ich leider gar keine Idee wie ich das zeigen bzw begründen kann..
Vielen Dank schonmal
Yumi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Um die Umkehrfunktion zu ermitteln, musst Du die Funktionsgleichung $y \ = \ [mm] \sinh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] nach $x \ = \ ...$ umstellen und untersuchen, ob es hier Einschränkungen gibt.
Oder ist Dir die Definition des [mm] $\arsin(x)$ [/mm] bereits vorgegeben?
Daraus ergibt sich dann mit Hilfe der  Kettenregel auch die oben genannte Ableitung.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Also ich habe follgende definition als Hinweis:
ln y = arsinhx <==> x = sinh y = [mm] \bruch{1}{2}(e^y [/mm] - e^(-y)) kann man auch nach u = [mm] e^y [/mm] auflösen.
Weis aber nichts damit anzufangen.In wie weit hilft mir das weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Der Beginn Deiner genannten Definition ist mir nicht klar.
Aber man kann $x \ =\ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^y-e^{-y}\right)$ [/mm] umformen, indem man diese Gleichung zunächst mit [mm] $2*e^y$ [/mm] multipliziert und anschließend substituiert:
$z \ := \ [mm] e^y$
[/mm]
Die daraus folgende quadratische Gleichung lässt sich dann z.B. mittels p/q-Formel lösen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Ähm also irgendwie komm ich nich so recht auf ne quadratische gleichung. Ich hab folgendes:
x = [mm] \bruch{1}{2}(e^y- \bruch{1}{e^y})
[/mm]
x = [mm] \bruch{e^y}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2e^y} [/mm] /* [mm] 2e^y
[/mm]
[mm] 2(e^y)x [/mm] = [mm] \bruch{2e^y*e^y}{2} [/mm] - 1 / z = [mm] e^y
[/mm]
2zx = [mm] \bruch{2z^2}{2} [/mm] - 1 / :(2zx)
0 = [mm] \bruch{z^2-1}{2zx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
> 2zx = [mm]\bruch{2z^2}{2}[/mm] - 1
Beim ersten Bruch auf der rechten Seite kannst du ja durch $2_$ kürzen zu: [mm] $z^2$ [/mm] .
Nun rechne auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $\red{-} [/mm] \ 2x*z$ und wende die p/q-Formel für $z_$ an.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
wwhaaa wie bin ich denn blos auf division gekommen?! Sorry. Ich habs gleich poste dann meine Lösung. Mich interessiert dann noch was ich damit ausgerechnet habe...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Soooo.. ich hab das raus:
x1/2 = xz +- [mm] \wurzel{(xz)^2 - 1}
[/mm]
Hmm.. und nun? *fragend guck* :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Wir haben doch folgende Quadratische Gleichung nach [mm] $\red{z}$ [/mm] :
[mm] $z^2-2x*z-1 [/mm] \ = \ 0$
Nun die p/q-Formel [mm] $z_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{p}{2} [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\left(\bruch{p}{2}\right)^2-q \ }$ [/mm] anwenden mit $p \ = \ -2x$ sowie $q \ = \ -1$ .
Anschließend resubstituieren mit $z \ = \ [mm] e^y$ $\gdw$ [/mm] $y \ = \ [mm] \ln(z)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Sooo entschuldige wieder ein dummer fehler von mir :(.
Hab dann also das:
e^y1 = x + [mm] \wurzel{x^2 + 1}
[/mm]
e^y2 = x - [mm] \wurzel{x^2 + 1}
[/mm]
y1 = ln(x + [mm] \wurzel{x^2 + 1})
[/mm]
y2 = ln(x - [mm] \wurzel{x^2 + 1})
[/mm]
Wie komme ich denn nun auf die Ableitung? Ich wollte ja ursprünglich die Ableitung...*verwirrt*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 29.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MissYumi!
Zunächst einmal sollten wir uns nun klar werden, welche der beiden Lösungen auch wirklich eine Lösung (in [mm] $\IR$) [/mm] ist.
Ist denn [mm] $y_2 [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(x-\wurzel{x^2+1} \ \right)$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] definiert?
Dann war ja die Frage, ob diese Umkehrfunktion $y \ = \ [mm] \ln\left(x+\wurzel{x^2+1} \ \right)$ [/mm] in ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist. Was muss also für das Argument des [mm] $\ln(...)$ [/mm] gelten?
Bei der Ableitung musst Du zunächst wissen [mm] $\left[ \ \ln(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] . Zudem musst Du hier die Kettenregel anwenden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 So 29.01.2006 | | Autor: | MissYumi |
Also ln kann nur aus positiven Zahlen gezogen werden. Muss also positiv sein. So dann fehlt zu der Aufgabe noch die stetigkeit die ich nich nicht habe. An der Ableitung habe ich mich schon versucht und bin gescheitert. Ich versuchs nochmal...
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