Beweis über die Ähnlichkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 03.08.2004 | | Autor: | Nick |
Hallo allezusammen,
ich habe diese Aufgabe:
Es sei K ein Körper. es seien [mm]A,B \in K^{3\times3}[/mm] Matrizen mit gleichem charakteristischen Polynom und gleichem Minimalpolynom. Man zeige: A und B sind ähnlich.
Ich habe nen Brett vor dem Kopf. Wie muss ich da anfangen. Könntet ihr mir einen Tipp geben?
Danke im voraus
Nick
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Hallo Nick!
Nach Satz der Vorlesung sind zwei MAtrizen ähnlich zueinander, wenn sie zur selben Ähnlichkeitklasse gehören,
das heisst, dass sie ähnlich zur selben Invariantenteilerform sind.
Jetz müssen wir also überlegen, wie die verschiedenen Invariantenteilerformen aussehen.
1. Fall:
Das Minimalpolynom von A und B besitzt den Rang 3,
also A und B sind ähnlich zu diag(1,1,f), wobei f das Minimalpolynom sein soll!
2. Fall:
Das Minimalpolynom besitzt den Grad 2, also muss es noch ein Polynom vom Grad 1 geben, das das Minimalpolynom teilt.
Somit sind A und B ähnlich zu diag(1,x-a,f) bzw. diag(1,x-b,f)
wobei a,b Elemente aus dem Körper sind und f wiederum das Minimalpolynom.
Das charakteristische Polynom von A, B ist somit (x-a)*f bzw. (x-b)*f.
3. Fall:
Das Minimalpolynom besitzt den Grad 1, also muss es noch 2 Polynom vom Grad 1 geben, die das Minimalpolynom teilen.
Somit sind A und B ähnlich zu diag(x-a,x-a,f) bzw. diag(x-b,x-b,f)
wobei a,b Elemente aus dem Körper sind und f wiederum das Minimalpolynom.
So, jetzt kann man wie folgt schließen:
1.Fall:
Die Minimal- und charakteristischen Polynome von A und B sind gleich und zudem ist das Minimalpolynom der einzige Invariantenteiler der charakteristischen Matrizen.
Also sind A,B ähnlich zur gleichen Invariantenteilform und somit ähnlich zur gleichen rat. kanonischen Form.
Somit sind sie ähnlich.
2. Fall:
Wenn die Minimalpolynome gleich sind und die charakteristischen Polynome muss also x-a=x-b sein, sodass das Minimalpolynom von x-a geteilt wird.
Analoge Argumentation wie oben!
3. Fall:
Alle Polynome vom Grad 1 sind irreduziebel, also muss f = x-a = x-b sein, sodass man x-a auf der Diagonalen stehen hat.
Analoge Argumentation wie oben!
Ich hoffe, dass ich das einigermassen verständlich erklären konnte und es Dir geholfen hat!
Gruss,
Wurzelpi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 03.08.2004 | | Autor: | Nick |
Ich habe dann noch eine weitere Frage:
Wie kann ich diese Aufgabe hier lösen? Ich stehe hier grad auf dem Schlauch.
Es sei K ein Körper. Die Matrizen [mm]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix} \in \IR^{3\times3} [/mm] haben alle die Determinante 1 und das charakteristische Polynom [mm](X-1)^3[/mm]. Welche von ihnen sind ähnlich, welche nicht? Untersuchen Sie diese Frage, ohne den Invariantenteiler-Algorithmus für die zugehörigen charakteristischen Matritzen zu benutzen. (Antwort mit Beweis)
Danke im voraus
Nick
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Hallo Nick!
Ich habe mich auch an dieser Aufgabe versucht, bin aber auch nicht sher weit gekommen.
Meine Überlegung war zu zeigen, dass evtl einige MAtrizen nicht äuivalent nicht und somit auch nicht ähnlich.
A und B heissen äquivalent, wenn man B aus A durch elementare Zeilen- und Spaltenoperationen erhält.
Leider konnte man alle Matrizen auf die Einheitsmatrix bringen, hat also nicht besonders weitergeholfen.
Vielleicht bringt dich meine Überlegung aber wieder auf neue Ideen.
Wenn ja, poste diese auf jeden Fall. Dann können wir gemeinsam weiterüberlegen.
Gruss,
Wurzelpi
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