Beweis und Heron-Verfahren < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:35 Mi 11.06.2008 | | Autor: | annika94 |
| Aufgabe | Behauptung: Ist 0<q eine reelle Zahl, so ist [mm] q+\bruch{1}{q} \ge [/mm] 2; dabei gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn q=1.
1.) Der übliche Beweis geht von der Ungleichung (q-1)² [mm] \ge [/mm] 0 aus. Warum gilt diese Ungleichung? Wie folgt daraus die Behauptung?
2.) Welche Beziehung gibt es zwischen der Behauptung und den Überlegungen zum Heron-Verfahren? |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich versteht bezüglich Beweis nur Bahnhof.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Aufgabe | Behauptung: Ist 0<q eine reelle Zahl, so ist [mm] $q+\frac{1}{q}\ge [/mm] 2$; dabei gilt das
Gleichheitszeichen genau dann, wenn q=1.
(a) Der übliche Beweis geht von der Ungleichung [mm] $(q-1)^2\ge [/mm] 0$ aus. Warum gilt diese Ungleichung? Wie folgt daraus die Behauptung?
(b) Welche Beziehung gibt es zwischen der Behauptung und den Überlegungen
zum Heron-Verfahren in der Vorlesung?
(c) Man verwende einen Funktionenplotter, um den Graphen der rationalen
Funktion [mm] $f(x)=x+\frac{1}{x}$ [/mm] zu zeichnen (auch für x negativ).
517909
517909 |
kann mir bitte jemand helfen?
Edit: Aufgrund des gleichlautenden Artikels von annika94 habe ich mir die Freiheit genommen, den Artikeltext zu bearbeiten 
Gruß
schachuzipus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo!
Deine Schreibweise ist völlig unklar!!
Was soll q +1q bedeuten??? Vielleicht q [mm] +\bruch{1}{q}
[/mm]
Ebenfalls unklar ist
(q − 1)2 ≥ 0
Erkläre dies!
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Hallo nike_clue,
vorab: unter dem Eingabefenster ist eine ganze Latte mit mathematischen Symbolen, wenn du da drauf klickst, wird angezeigt, wie du sie leserlich eintippen kannst.
So ergibt zB. q+\bruch{1}{q} den schönen Ausdruck [mm] $q+\bruch{1}{q}$
[/mm]
Und Quadrate gibst du intuitiv mit dem Dach a^b ein, das gibt [mm] $a^b$
[/mm]
Zum anderen pflegen wir hier im Forum einen freundlichen Umgangston, da gehören ein "Hallo" und ein "Tschö" doch mindestens dazu.
Außerdem solltest du ein paar eigene Ansätze präsentieren und nicht die Aufgabe so kommentarlos hinklatschen. [mm] \rightarrow [/mm] Forenregeln
Nun aber mal zur Aufgabe.
Nach dem, was ich mir mit dem Aufgabentext bei (a) zusammenreime, sollst du zeigen, dass für $q>0$ gilt: [mm] $q+\frac{1}{q}\ge [/mm] 2$
Das ist mit dem Hinweis in (a) doch ein 3-Zeiler:
Warum ist [mm] $(q-1)^2$ [/mm] immer [mm] $\ge [/mm] 0$ ?
Das wirst du beantworten können...
Multipliziere das aus und stelle und forme es so um, dass du die zu zeigende Aussage am Ende dastehen hast.
Dann bist du von einer wahren Aussage [mm] $(q-1)^2\ge [/mm] 0$ ausgegangen und hast die zu zeigende Aussage daraus gefolgert - praktisch
Die Gleichheit kannst du dir mal selber überlegen...
Jetzt bist du aber dran, uns etwas von deinen Gedanken dazu zu verraten
Wenn du einen link zu einem sehr guten Funktionenplotter haben möchtest, so nimm doch ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot - sehr zu empfehlen!
Also bis dann
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) jedes Quadrat einer reellen Zahl ist positiv!!
ausmultiplizieren, 2q auf die andere Seite, durch q teilen!
zu b) Woher soll ich die Überlegungen aus deiner Vorlesung kennen?
Gruss leduart
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Hallo annika94,
erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Mich dünkt, hier ist dieselbe Frage gestellt, vllt. kannst du dort mit weitermachen, dann haben wir keinen unnötigen doppelten Diskussionsstrang.
Ich hatte dort etwas zu (a) geschrieben.
Bzgl. (b) solltet ihr uns mal verraten, was ihr denn in der VL zum Heronvefahren überlegt habt, die meisten von uns waren nicht dabei
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:50 Do 12.06.2008 | | Autor: | annika94 |
Hallo,
erstmal vielen Dank für den Hinweis.
Zu dem Heron-Verfahren:
Wir haben damit die reelle Zahl für [mm] \wurzel{3} [/mm] berechnet. So wie es zum Beispiel auch bei Wikipedia steht. Außerdem haben wir über die Herleitung mit dem Thales-Kreis gesprochen.
Aber nochmal zu a:
Wenn ich (q-1)² ausmultipliziere und 2q auf die andere Seite bringe, komme ich auf 2q=q². Wenn ich nun durch q teile, erhalte ich 2=1 oder nicht?
Was sagt mir das denn jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:22 Do 12.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Annika!
> Zu dem Heron-Verfahren:
> Wir haben damit die reelle Zahl für [mm]\wurzel{3}[/mm] berechnet.
> So wie es zum Beispiel auch bei Wikipedia steht. Außerdem
> haben wir über die Herleitung mit dem Thales-Kreis
> gesprochen.
Was fällt dir auf, wenn du die Formeln im Heron-Verfahren mit [mm] $q+\bruch{1}{q}$ [/mm] vergleichst?
> Aber nochmal zu a:
> Wenn ich (q-1)² ausmultipliziere und 2q auf die andere
> Seite bringe, komme ich auf 2q=q².
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wieso ein Gleichheitszeichen? Du gehst du von einer Ungleichung aus!
Und du hast heimlich still und leise eine 1 wegfallen lassen:
[mm] q^2-2q+1\ge0\gdw2q\le q^2+1 [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Do 12.06.2008 | | Autor: | annika94 |
Ja alles klar. Ich hab die 1 vergessen.
Zu b)
Also ich könnte das q mit dem "Startwert" aus der Heron-Gleichung vergleichen und in diesem Fall wäre das a=1. d.h. mit dem Heron Verfahren würde ich [mm] \wurzel{1} [/mm] bestimmen, wenn ich für q entsprechende Werte einsetze und durch 2 teile. Da ich aber nicht durch 2 teile, ist das Ergebniss immer [mm] \ge [/mm] 2. Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 12.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In etwa hast du recht.
Beim Heronverfahren muss man ja beweisen, dass das Verfahren konvergiert. dazu braucht man :
1. eine Schranke (hier nach unten) wenn du statt 1 in einem Beweis [mm] q+a^2/q [/mm] einsetzt, hast du sofort die untere Schranke für das Heronverfahren.
b) brauchst du dass das Verfahren eine monoton fallende Folge bildet (ab dem 2.ten Schritt.) auch das folgt.
Natürlich hast du mit a=1 auch ein verfahren zur Bestimmung von [mm] \wurzel{1} [/mm] aber das ist ja nicht sehr spannend, aber nicht falsch. Aber auch hier musst du sagen, dass das der Beweis für ne untere Schranke ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Do 12.06.2008 | | Autor: | annika94 |
Vielen Dank!
Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen.
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