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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:32 Do 18.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | Sei n eine natürliche Zahl. Für eine Permutation [mm] \tau [/mm] in [mm] S_{n} [/mm] sei [mm] f_{\tau} [/mm] : [mm] S_{n} \to S_{n} [/mm] definiert durch [mm] f_{\tau}(\sigma) [/mm] = [mm] \tau \circ \sigma, [/mm] für alle [mm] \sigma \in S_{n}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass M = [mm] \{f_{\tau} | \tau \in S_{n}\} [/mm] mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet. |
Bei dieser Frage bin ich mir absolut nicht sicher, ob ich totalen Unsinn geschrieben habe. Falls jemand Zeit hat, sich das einmal anzusehen, wäre ich sehr dankbar.
Zu zeigen ist, das (M, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe bildet. Dafür ist zu beweisen, dass (M, [mm] \circ) [/mm] abgeschlossen und assoziativ ist, ein neutrales Element bzgl. [mm] \circ [/mm] existiert und zu jedem Element aus M ein inverses Element vorhanden ist.
i) (M, [mm] \circ) [/mm] ist abgeschlossen.
[mm] f_{\tau} [/mm] ist definiert als Abbildung von [mm] S_{n} \to S_{n} [/mm] und somit auch abgeschlossen.
ii) (M, [mm] \circ) [/mm] ist assoziativ.
Seien [mm] f_{\tau}, f_{\alpha} [/mm] und [mm] f_{\omega} \in [/mm] M. Seien weiterhin [mm] f_{\lambda} [/mm] := [mm] f_{\tau} \circ f_{\alpha} [/mm] und [mm] f_{\mu} [/mm] := [mm] f_{\lambda} \circ f_{\omega} [/mm] Hilfsfunktionen. Dann gilt:
[mm] (f_{\tau} \circ f_{\alpha}) \circ f_{\omega}
[/mm]
= [mm] f_{\lambda} \circ f_{\omega} [/mm] Hilfsfunktion benutzt
= [mm] f_{\lambda}(f_{\omega}) [/mm] nach Definition der Komposition
= [mm] (f_{\tau} \circ f_{\alpha})(f_{\omega}) [/mm] Hilfsfunktion benutzt
= [mm] f_{\tau}(f_{\alpha}(f_{\omega})) [/mm] nach Definition der Komposition
[mm] f_{\tau} \circ (f_{\alpha} \circ f_{\omega})
[/mm]
= [mm] f_{\tau} \circ f_{\mu} [/mm] Hilfsfunktion benutzt
= [mm] f_{\tau}(f_{\mu}) [/mm] nach Definition der Komposition
= [mm] f_{\tau}(f_{\alpha} \circ f_{\omega}) [/mm] Hilfsfunktion benutzt
= [mm] f_{\tau}(f_{\alpha}(f_{\omega})) [/mm] nach Definition der Komposition
Somit ist [mm] (f_{\tau} \circ f_{\alpha}) \circ f_{\omega} [/mm] = [mm] f_{\tau} \circ (f_{\alpha} \circ f_{\omega}) [/mm] und (M, [mm] \circ) [/mm] assoziativ.
iii) Es existiert ein neutrales Element in M bezüglich [mm] \circ.
[/mm]
Es muss gelten: [mm] f_{\tau} \circ [/mm] e = e [mm] \circ f_{\tau} [/mm] = [mm] f_{\tau}.
[/mm]
[mm] f_{\tau} \circ [/mm] e = e [mm] \circ f_{\tau} [/mm] = [mm] f_{\tau}
[/mm]
[mm] \gdw f_{\tau}(e(\sigma)) [/mm] = [mm] e(f_{\tau}(\sigma)) [/mm] = [mm] f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
[mm] f_{\tau}(e(\sigma)) [/mm] = [mm] f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
[mm] \Rightarrow e(\sigma) [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n} \circ \sigma, [/mm] denn offensichtlich gilt dann [mm] f_{\tau}(e(\sigma)) [/mm] = [mm] f_{\tau}( \pmat{1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n} \circ \sigma) [/mm] = [mm] f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
[mm] e(f_{\tau}(\sigma)) [/mm] = [mm] f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
[mm] \Rightarrow e(\sigma) [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n} \circ \sigma, [/mm] denn offensichtlich gilt dann [mm] e(f_{\tau}(\sigma)) [/mm] = [mm] e(\tau \circ \sigma) [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n} \circ \tau \circ \sigma [/mm] = [mm] \tau \circ \sigma [/mm] = [mm] f_{\tau}(\sigma)
[/mm]
Somit ist e mit [mm] e(\sigma) [/mm] = [mm] \pmat{1 & 2 & ... & n \\ 1 & 2 & ... & n} \circ \sigma [/mm] das neutrale Element für (M, [mm] \circ).
[/mm]
iv) Jedes Element in M besitzt ein Inverses bezüglich [mm] \circ.
[/mm]
Es muss gelten [mm] f_{\tau} \circ f_{\tau}^{-1} [/mm] = [mm] f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau} [/mm] = e
Da alle [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] invertierbar sind, sind auch Kompositionen zweier Permutationen invertierbar. Folglich sind auch alle [mm] f_{\tau}, [/mm] die Kompositionen zweier Permutationen darstellen, invertierbar.
(M, [mm] \circ) [/mm] ist somit abgeschlossen und assoziativ, es existiert ein neutrales Element bzgl. [mm] \circ [/mm] und zu jedem Element aus M ist ein inverses Element vorhanden. Folglich ist (M, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
genau diese Aufgabe war vor wenigen Tagen dran.
Ich schlage Dir vor, daß Du den entsprechenden Thread studierst,
vielleicht fällt Dir schon das eine oder andere auf, was Du anders machen solltest.
Wenn Du dann noch Fragen hast, melde Dich wieder, wir können sie dann hier besprechen.
Gruß v.Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Fr 19.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Vielen Dank erst einmal für die Antwort. Ja, mir ist in der Tat noch so manches aufgefallen, was bei mir noch nicht rund ist.
Für den Beweis der Existenz der inversen Elemente würde ich aber noch wissen, ob mein Weg auch möglich wäre. Er ist sicherlich umständlicher, aber möglicherweise ja auch korrekt. Ich habe diesen noch ein wenig näher erklärt:
iv) Zu jedem [mm] f_{\tau} \in [/mm] M existiert ein Inverses.
Bezeichne [mm] f_{\tau}^{-1} \in [/mm] M das inverse Element zu [mm] f_{\tau}. [/mm]
Es ist zu zeigen, dass zu jedem [mm] f_{\tau} [/mm] ein [mm] f_{\tau}^{-1} [/mm] existiert.
Alle Elemente von [mm] S_{n} [/mm] sind per Definition bijektive Abbildungen auf der Menge {1, 2, ..., n}. Somit stellen alle [mm] f_{\tau} [/mm] eine Komposition zweier bijektiver Abbildungen dar für alle [mm] \tau \in S_{n} [/mm] und [mm] \sigma \in S_{n}. [/mm] Alle [mm] f_{\tau} [/mm] sind damit selbst bijektiv (Proposition über Kompositionen bijektiver Abbildungen). Daraus folgt (Satz über Charakterisierung invertierbarer Abbildungen), dass alle [mm] f_{\tau} [/mm] invertierbar sind, bzw. dass zu jedem [mm] f_{\tau} [/mm] ein inverses Element [mm] f_{\tau}^{-1} [/mm] existiert, so dass gilt:
[mm] f_{\tau} \circ f_{\tau}^{-1} [/mm] = [mm] f_{\tau}^{-1} \circ f_{\tau} [/mm] = e (neutrales Element)
q.e.d.
Für ein kurzes Feedback wäre ich dankbar.
Viele Grüße
Oliver
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> Für den Beweis der Existenz der inversen Elemente würde ich
> aber noch wissen, ob mein Weg auch möglich wäre. Er ist
> sicherlich umständlicher, aber möglicherweise ja auch
> korrekt. Ich habe diesen noch ein wenig näher erklärt:
Hallo,
wenn ich mir das durchlese, was Du schreibst, habe ich den Eindruck, daß Du verstanden hast, warum es zu [mm] f_{\tau} [/mm] ein inverses Element gibt.
Aber ich meine nicht, daß Du es so schreiben kannst - Du kannst natürlich, aber...
>
>
>
> iv) Zu jedem [mm]f_{\tau} \in[/mm] M existiert ein Inverses.
>
> Bezeichne [mm]f_{\tau}^{-1} \in[/mm] M das inverse Element zu
> [mm]f_{\tau}.[/mm]
> Es ist zu zeigen, dass zu jedem [mm]f_{\tau}[/mm] ein [mm]f_{\tau}^{-1}[/mm]
> existiert.
>
> Alle Elemente von [mm]S_{n}[/mm] sind per Definition bijektive
> Abbildungen auf der Menge {1, 2, ..., n}. Somit stellen
> alle [mm]f_{\tau}[/mm] eine Komposition zweier bijektiver
> Abbildungen dar
Das stimmt nicht. [mm] f_{\tau} [/mm] ist KEINE Komposition von irgendwas.
[mm] f_{\tau} [/mm] ist eine Abbildung, welche aus der Menge [mm] S_n [/mm] in die Menge [mm] S_n [/mm] abbildet.
Eine Komposition von Abbildungen ist [mm] f_{\tau}(\sigma): [/mm] den Funktionswert an der Stelle [mm] \sigma [/mm] erhält man ja in der Tat, indem man 2 Abbildungen nacheinander ausführt.
> für alle [mm]\tau \in S_{n}[/mm] und [mm]\sigma \in S_{n}.[/mm]
> Alle [mm]f_{\tau}[/mm] sind damit selbst bijektiv (Proposition über
> Kompositionen bijektiver Abbildungen).
Es stimmt zwar, daß [mm] f_{\tau} [/mm] bijektiv ist, aber die Begründung stimmt SO nicht, weil ja eben [mm] f_{\tau} [/mm] keine Komposition von Abbildungen ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 19.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Hmm, das ist in der Tat nicht korrekt von mir formuliert worden. An der Präzision muss ich wohl noch gehörig arbeiten. Man wirft ziemlich schnell Dinge durcheinander.
Abbildung und Abbildungsvorschrift (Funktionswert) hängen doch zusammen bzw. bilden eine Einheit. Gibt es daher eventuell eine Möglichkeit zur Rettung meiner Argumentation?
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> Man wirft ziemlich schnell Dinge durcheinander.
Das passiert gerade am Anfang sehr leicht. Ist kein Beinbruch, man lernt dran.
> Abbildung und Abbildungsvorschrift (Funktionswert) hängen
> doch zusammen bzw. bilden eine Einheit. Gibt es daher
> eventuell eine Möglichkeit zur Rettung meiner
> Argumentation?
Naja, wenn Du es unbedingt ausdrücklich über die Bijektivität machen möchtest,
kannst Du zeigen, daß für jedes [mm] \tau \in S_n f_{\tau} [/mm] bijektiv ist.
Und wenn Du dann bereits in der Analysis-Vorlesung so weit bist, daß Du dort gelernt hast, daß [mm] f_{\tau} [/mm] umkehrbar ist, dann geht es wohl.
Allerdings finde ich den Weg über die Gruppeneigenschaften von [mm] S_n, [/mm] wie wir ihn im anderen Thread eingeschlagen haben, irgendwie - - - hübscher...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Fr 19.10.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Angela!
Vielen vielen Dank, dass du dir so viel Zeit nimmst. Den Weg aus dem anderen Thread finde ich auch eleganter, aber ich wollte meine eigene Idee nicht gleich wegwerfen 
Viele Grüße
Oliver
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