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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] |
Hallo!
Es ist schon fast peinlich, wenn man immer wieder an der Induktionsaufgabe scheitert, aber bei dieser komme ich einfach nicht aufs Ergebnis:
Induktionsanfang ist klar. Beim Induktionsschluss komme ich auf der rechten Seite auf 2n³ + 9n² + 13n + 6 (den Bruch mit 6 habe ich auf beiden Seiten zur Vereinfachung weggelassen) und auf der linken Seite auf 8n³ + 21n² + 19n + 6 ... Ich habe jetzt auch schon mehrfach nachgerechnet und komme immer wieder auf das gleiche Ergebnis.
Zum Verständnis mein Ansatz:
rechte Seite: [mm] \bruch{(n+1)*(n+2)*(2n+3)}{6}
[/mm]
linke Seite: [mm] \summe_{k=1}^{n}k³ [/mm] + (n+1)³ = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] + (n+1)³
Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
es kann sich nur um einen Rechenfehler handeln, der sich irgendwo versteckt. Der Ansatz ist richtig. Bringe auf der linken Seite nochmal [mm] (n+1)^{3} [/mm] auf den Hauptnenner, also [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6*(n+1)^{3}}{6} [/mm] und multipliziere das und auch [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] nochmals aus. Es müsste dasselbe rauskommen. :)
Grüße kiri
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Rechts:
(n² + 2n + n + 2) * (2n + 3) = (n² + 3n + 2) * (2n + 3) = 2n³ + 3n² + 6n² + 9n + 4n + 6
= 2n³ + 9n² + 13n + 6 (und eben noch durch 6)
Links:
n * (n+1) * (2n + 1) + 6 * (n + 1) * (n+1) * (n+1) = (n² + n) * (2n +1) + 6 * (n³ + 3n² + 3n + 1) = 2n³ + n² + 2n² + n + 6n³ + 18n² + 18n + 6
= 8n³ +21n² + 19n + 6
öhm ... wo ist er nur? Könnte es auch sein, dass die Behauptung falsch ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Hi Carolinchen,
woher hast du die Behaubtung???
Für [mm] k^3 [/mm] gilt $ [mm] \summe_{k=1}^{n} $k^3 =\bruch{n^2(n+1)^2}{4}
[/mm]
Deine Formel würde für [mm] k^2 [/mm] gelten.
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Höhö ... die Aufgaben sind vom Professor - ok jetzt ist alles klar, danke, danke, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Dave11 |
Da hat der wohl nicht aufgepasst.....
Bitte Bitte Bitte
Du musst nur mit na Mitteilung antworten sonst bleibt deine Frage offen
MFG Dave
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Sa 03.11.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ja, die Behauptung so wie sie da steht, ist falsch. Stimmt. Hatte ich übersehen.
Hast du vielleicht [mm] k^{2} [/mm] und [mm] k^{3} [/mm] verwechselt?
Grüße kiri
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