Beweis vom Logarithmusgesetz < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Prang |
| Aufgabe | Wie kann man das beweisen?
log b x = lg x / lg b |
Würd mich mal interessieren wie hier der Beweis aussieht!?!
Vielleicht kann mir das jemand zeigen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Prang,
also, das ist ein wenig Rechnerei...
Du willst zeigen: [mm] $\log_b(x)=\frac{\lg(x)}{\lg(b)}$
[/mm]
Schreibe [mm] $\log_b(x)=u\Rightarrow x=b^{u}$
[/mm]
und [mm] $\lg(x)=v\Rightarrow x=10^v$
[/mm]
Wegen $x=x$ kannst du schreiben: [mm] $b^{u}=10^v$
[/mm]
Da setze die Ausdrücke für $u, v$ ein:
[mm] $\Rightarrow b^{\log_b(x)}=10^{\lg(x)}\qquad \mid \lg(...)$ [/mm] auf beiden Seiten anwenden...
[mm] $\Rightarrow \lg\left(b^{\log_b(x)}\right)=\lg\left(10^{\lg(x)}\right)$
[/mm]
Nun kannst du das Logarithmusgesetz für Potenzen anwenden [mm] $\log_a\left(t^m\right)=m\cdot{}\log_a(t)$
[/mm]
Das ergibt hier dann:
[mm] $\Rightarrow \log_b(x)\cdot{}\lg(b)=\lg(x)\cdot{}\underbrace{\lg(10)}_{=1}$
[/mm]
Den Rest du ... 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Prang |
Ist mir nicht ganz klar! Warum schreibe ich das so um ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Di 15.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Du kannst es auch anders aufbauen:
Du willst doch zeigen:
$\log_b(x)=\frac{\lg(x)}{\lg(b)}$
(+) Du weißt, dass $b^{\log_b(x)}=x$ gilt und dass $t_0:=\log_b(x)$ die einzige Lösung der Gleichung $b^t=x$ in der Variablen $t$ ist.
Daher genügt es nun, zu zeigen, dass auch
$b^{\frac{\lg(x)}{\lg(b)}}=x$
Es gilt:
$b^{\frac{\lg(x)}{\lg(b)}}=\left(b^\lg(x)}\right)^{\frac{1}{\lg(b)}}=(\*)$
Nun benutze $b=10^{\lg(b)}$ (irgendwie muss man ja die Basis 10 ins Spiel bringen), dann folgt:
$(\*)=\left(\left(10^\lg(b)\right)^\lg(x)}\right)^{\frac{1}{\lg(b)}}=(\*\*)$
Zweimalige Anwendung des Gesetzes $\left(a^{r}\right)^s=a^{r*s}$ liefert:
$(\*\*)=10^{\lg(b)*\lg(x)*\frac{1}{\lg(b)}}=10^{\lg(x)}=x$.
Also gilt einerseits
$b^{\log_b(x)}=x$
als auch andererseits:
$b^{\frac{\lg(x)}{\lg(b)}}=x$
Das impliziert $\log_b(x)=\frac{\lg(x)}{\lg(x)}$ wegen (+).
Was Du sehen solltest:
Man muss halt mit Potenzgesetzen rechnen können und das Wissen, dass per Definitionem $10^{\lg(b)}=b$, $b^{\log_b(x)}=x$ gilt, ins Spiel bringen...
Ganz exakt müßte bzw. sollte man hier eigentlich mit der Exponentialfunktion arbeiten (deren Injektivität usw.) (oder meinetwegen auch mit dem logarithmus naturalis), aber da müßte man ein klein wenig über den Schulstoff hinausgehen...
P.P.S.:
Eine letzte Variante:
$\log_b(x)=\frac{\lg(x)}{\lg(b)}$
$\gdw$
$\lg(b)*\log_b(x)=\lg(x)$
Du weißt nun $10^{\lg(x)}=x$ und analog zu oben reicht es daher, nachzuweisen:
$10^{\lg(b)*\log_b(x)}=x$.
Das erkennt man aber schnell:
$10^{\lg(b)*\log_b(x)}=\left(10^{\lg(b)}\right)^{\log_b(x)}=b^{\log_b(x)}=x$
Gruß,
Marcel
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