Beweis vom MWS < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Do 06.09.2012 | | Autor: | Ganz |
Guten Tag, ich muss für eine Prüfung den Beweis des Mittelwertatzes der Differentialrechnung können.
Satz: Sei a,b [mm] \in \IR, [/mm] f: [mm] [a,b]->\IR [/mm] stetig auf [a,b] und diffbar auf (a,b). Dann ex. mind. ein [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b), sodass [mm] f´(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Beweis: Man definiert eine Hilfsfunktion [mm] h(x)=f(x)-\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a).
[/mm]
Die Funktion h(x) ist im Intervall [a,b] stetig und in (a,b) diffbar.
Mir ist nicht klar (auch schon im Satz selbst nicht) warum die Funktion im geschlossenen Intervall stetig ist und im offenen Intervall diffbar.
Außerdem gilt h(a)=f(a)=h(b).
Ist h konstant, so gilt h´(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung
Der Teil der jetzt kommt ist mir überhaupt nicht klar.
Ist h nicht konstant, so folgt wegen der Stetigkeit von h und weil h(a)=h(b), dass h das Maximum oder das Minimum im Inneren annimmt, d.h. in einem Punkt [mm] \lambda \in [/mm] (a,b). In [mm] \lambda [/mm] gilt daher h´( [mm] \lambda)=0. [/mm] Dies ist äquivalent zu: f´( [mm] \lambda)= \bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Also wie gesagt den letzten Abschnitt versteh ich so gut wie gar nicht, hoffe auf eure hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Do 06.09.2012 | | Autor: | wauwau |
Da h(x) die differenz zweier stetiger, differenzierbarer Funktionen f nach Angabe und der zweite Teil ist ja eine lineare Funktion, ist, ist h selbst auch stetig und diffbar.
Der Rest sollt ja wohl klar sein - wenn du deinen Fehler in der Angabe korrigierst:
(das gesuchte [mm] $x_0$ [/mm] ist ja genau der Extremwert [mm] $\lambda [/mm] $ der Hilfsfunktion
> Satz: Sei a,b [mm]\in \IR,[/mm] f: [mm][a,b]->\IR[/mm] stetig auf [a,b] und
> diffbar auf (a,b). Dann ex. mind. ein [mm]x_{0} \in[/mm] (a,b),
> sodass [mm]f'(x_{0})=\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
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