Beweis von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:26 Mo 06.11.2006 | | Autor: | cosmos321 |
| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}),(b_{n}) [/mm] Folgen in [mm] \IR. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie:
i.) [mm] a_{n} \to [/mm] a, [mm] b_{n} \to [/mm] b, [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN \Rightarrow [/mm] a < b;
ii.) [mm] a_{n} \to [/mm] 0, [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkt [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] * [mm] b_{n} \to [/mm] 0. |
Hallo zusammen, also wenn ich mir die Aufgaben durchlese und gedanklich vorstelle oder sie für konkrete a´s und b´s graphisch darstelle, dann ist mir das Ergebnis klar, doch ich habe echt Probleme wenn ich solche Sachen NUR beweisen muss.Da tue ich mich immer sehr schwer damit. Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen!
Danke für jede Antwort.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin cosmos!!
i) kannst du durch ein Gegenbeispiel widerlegen nimm z.B.
[mm] $a_n:=\frac{1}{n^2}$ $b_n:=\frac{1}{n}$ [/mm]
jeweils mit $n>1$ dann ist [mm] $a_n
ii) was bedeutet [mm] $a_n\to [/mm] 0$ und und [mm] $b_n$ [/mm] beschränkt?
Schreib dir die Definitionen auf und wende sie auf [mm] $a_n*b_n$ [/mm] an.
Meld dich nochmal mit deinem Ansatz. Dann schaun wir weiter.
MfG
Sashman
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Hallo, ich habe mir meine Aufzeichnungen aus der UNI nochmal angeschaut aber leider nicht wirklich was gefunden was zu dieser Aufgabe passt.
Wenn [mm] a_{n} \to [/mm] 0 bedeutet das, dass die Folge den Grenzwert 0 hat.
Aber mit diesem [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkt, komme ich einfach nicht klar. Beschränkt ist doch etwas, wenn [mm] \exists [/mm] K [mm] \in \IR \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : |x| [mm] \le [/mm] K .
Nur was kann ich jetzt damit anfangen oder bringe ich da jetzt verschiedene Sachen durcheinander?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Sashman |
> Wenn [mm]a_{n} \to[/mm] 0 bedeutet das, dass die Folge den Grenzwert
> 0 hat.
Oder aber a heißt Grenzwert der Folge [mm] a_n, [/mm] wenn für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] existiert, so dass für alle $m>n$ [mm] $|a_m-a|<\varepsilon$.
[/mm]
> Aber mit diesem [mm](b_{n})[/mm] beschränkt, komme ich einfach
> nicht klar. Beschränkt ist doch etwas, wenn [mm]\exists[/mm] K [mm]\in \IR \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] M : |x| [mm]\le[/mm] K .
>
> Nur was kann ich jetzt damit anfangen oder bringe ich da
> jetzt verschiedene Sachen durcheinander?
Jein
Sei [mm] b_n [/mm] eine Folge. Dann heißt [mm] b_n [/mm] beschränkt, wenn ein [mm] $k\in\IR^+$ [/mm] existiert, so dass für alle n [mm] $|b_n|\le [/mm] k $ gilt.
zu zeigen ist dann:
[mm] |a_n*b_n-0|<\varepsilon
[/mm]
der Beweis [mm] a_m\to [/mm] 0
Es gibt ein [mm] m\in\IN [/mm] so dass für alle n>m
[mm] $|a_n-0|<\frac{\varepsilon}{k} [/mm] $ ist
wegen der Beschräktheit von [mm] b_n [/mm] gilt:
[mm] $|a_n*b_n-0|=|a_n*b_n|\le |a_n*k|=k*|a_n-0|< k*\frac{\varepsilon}{k}=\varepsilon$
[/mm]
alles klar soweit??
MfG Sashman
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:59 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Bulli |
Ich hätte mal eine Nachfrage und zwar zu der Stelle:
"Es gibt ein [mm]m\in\IN[/mm] so dass für alle n>m
[mm]|a_n-0|<\frac{\varepsilon}{k}[/mm] ist"
Du setzt doch [mm] \frac{varepsilon}{k}, [/mm] damit am Ende [mm] \varepsilon [/mm] herauskommt.
Siehst du das vorher schon, dass du das so setzen musst, damit am ende nur
[mm] \varepsilon [/mm] herauskommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Mi 08.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Also das:
> Sei $ [mm] b_n [/mm] $ eine Folge. Dann heißt $ [mm] b_n [/mm] $ beschränkt,
> wenn ein $ [mm] k\in\IR^+ [/mm] $ existiert, so dass für alle n $ [mm] |b_n|\le [/mm] k $ gilt.
IST KLAR.
ABER:
> $ [mm] |a_n\cdot{}b_n-0|<\varepsilon [/mm] $
> der Beweis $ [mm] a_m\to [/mm] $ 0
wieso jetzt auf einmal $ [mm] a_m\to [/mm] $ 0 ????
> Es gibt ein $ [mm] m\in\IN [/mm] $ so dass für alle n>m
> $ [mm] |a_n-0|<\frac{\varepsilon}{k} [/mm] $ ist
> wegen der Beschräktheit von $ [mm] b_n [/mm] $ gilt:
> $ [mm] |a_n\cdot{}b_n-0|=|a_n\cdot{}b_n|\le |a_n\cdot{}k|=k\cdot{}|a_n-0|< [/mm]
[mm] k\cdot{}\frac{\varepsilon}{k}=\varepsilon [/mm] $
das kapiere ist jetzt nicht mehr! Kannst du mir das auch anders erklären oder verdeutlichen??? Ich steh total auf der Leitung , sry!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Di 07.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin!
Ich hoffe durch meine antwort auch die vorhergehende Frage zu beantworten.
Nein man sieht das nicht immer vorher wie das [mm] \varepsilon [/mm] gewählt werden muß. Nur ist es halt schön oder elegant wenn das was man zu zeigen hat der Definition sehr nahe kommt. Also spielt man den ganzen Beweis einmal durch und wählt sein [mm] \varepsilon [/mm] dann. Dies gilt natürllich auch für alle Bezeichner (von Folgen in diesem Beispiel)
So gilt das für [mm] \underline{alle} \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] m\in\IN [/mm] zu finden ist, so dass für alle n>m gilt: [mm] $|a_n-0|<\varepsilon$. [/mm] Im speziellen natürlich auch für [mm] $\varepsilon:=\frac{\varepsilon}{k}.$
[/mm]
Ich glaube das mach die mathematische Beweisführung manchmal ein wenig verwirrend, das ein Bezeichner nicht immer fest bleibt.
Wenn ich im Beweis z.B. schreibe [mm] a_m\to [/mm] 0 ist aus denm Zusammenhang natürlich ersichtlich das die Folge [mm] a_n [/mm] gemeint ist. n wurde nur gegen m getauscht, damit im eigentlichen Beweis das n als Variable frei bleibt und am Schluß die Behauptung folgt.
Letzten Endes die Bezeichner in den Definitionen sind nahezu frei. So hätte ich auch dort schon schreiben können:
$a$ ist Grenzwert einer Folge [mm] $a_n$ [/mm] wenn für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] existiert, so das für alle $n>m$ : [mm] $|a_n-a|<\frac{\varepsilon}{k}$ $k\in\IN$ [/mm] gilt.
ich hoffe das klärt das ein wenig auf
ansonsten demnächst in diesem Forum ein wenig mehr
weil spät es schon ist
MfG
Sashman
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