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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Für alle m, n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] m gilt [mm] (1+\left \bruch{1}{n} \right )^n \ge \summe_{k=0}^{m} \left ( \bruch{n-m}{n} \right )^k \left \bruch{1}{k!} \right [/mm] |
Habe das ganze mal mit dem binomischen Lehrsatz ausgedrückt:
[mm] (1+\left( \bruch{1}{n} \right))^n=\summe_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \bruch{1}{n} \right)^k=\summe_{k=0}^{n}\left( \bruch{n!}{k!(n-k)!} \right)\left( \bruch{1}{n^k} \right)
[/mm]
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich weiter machen kann. Wie werde ich die Fakultät los? Und wie bekomme ich n-m rein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mo 05.12.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo hubbel,
am Sonntag Abend eine Frage einzustellen und sie mit einer Fälligkeit von 6 Stunden zu versehen, ist - freundlich gesagt - etwas zu optimistisch. Wenn noch jemand hätte antworten wollen und können, dann wäre das auch passiert. Ansonsten schlafen manche Mitglieder dieses Forums sogar nachts. 
Nächstes Mal also besser länger!
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:31 Mo 05.12.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> Für alle m, n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] m gilt [mm](1+\left \bruch{1}{n} \right )^n \ge \summe_{k=0}^{m} \left ( \bruch{n-m}{n} \right )^k \left \bruch{1}{k!} \right[/mm]
>
> Habe das ganze mal mit dem binomischen Lehrsatz
> ausgedrückt:
>
> [mm](1+\left( \bruch{1}{n} \right))^n=\summe_{k=0}^{n} {n \choose k}\left( \bruch{1}{n} \right)^k=\summe_{k=0}^{n}\left( \bruch{n!}{k!(n-k)!} \right)\left( \bruch{1}{n^k} \right)[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt ist zu zeigen:
$\summe_{k=0}^{n}\left( \bruch{n!}{k!(n-k)!} \right)\left( \bruch{1}{n^k} \right) \ge \summe_{k=0}^{m} \left ( \bruch{n-m}{n} \right )^k \left \bruch{1}{k!} \right$.
Die Summe links vom Größergleichzeichen hat mehr oder gleichviele
Summanden wie die Summe rechts vom Größergleichzeichen.
Deshalb reicht es die einzelnen Summanden zu vergleichen.
Die einzelnen Summanden lassen sich umformen:
$ \bruch{n!}{k!(n-k)!}* \bruch{1}{n^k} = \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}$
$\left( \bruch{n-m}{n} \right )^k \bruch{1}{k!} = \bruch{(n-m)^k}{n^k*k!}$
Ist also $\bruch{n!}{(n-k)!} \ge (n-m)^k zu zeigen.
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> Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich weiter machen kann. Wie
> werde ich die Fakultät los? Und wie bekomme ich n-m rein?
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Hat sich mittlerweile geklärt, dennoch danke!
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