Beweis von Gleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 So 23.10.2011 | | Autor: | gpvw100 |
| Aufgabe 1 | Sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung von A nach B. Für eine Teilmenge U von A sei definiert f(U) = {f(a)|a [mm] \in [/mm] U}
Zeigen Sie:
Für beliebige Teilmengen X und Y von A gilt
f(X [mm] \cup [/mm] Y) = f(X) [mm] \cup [/mm] f(Y) |
| Aufgabe 2 | Es sei A = B = [mm] \IN. [/mm]
Finden Sie ein Beispiel, in dem f(X [mm] \cap [/mm] Y ) [mm] \not= [/mm] f(X) [mm] \cap [/mm] f(Y) |
Hallo,
ich hab versucht die Aufgabe zu Lösen, allerdings will mir keine konkrete Lösung für das Beispiel und für den Gleicheitsbeweis einfallen.
Es wäre echt super, wenn mir vielleicht jemand einen kleinen Denkanstoß geben könnte.
MfG
gpvw100
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Hallo gpvw100,
zwei Anstöße:
> Zeigen Sie:
> Für beliebige Teilmengen X und Y von A gilt
> f(X [mm]\cup[/mm] Y) = f(X) [mm]\cup[/mm] f(Y)
Überleg mal, wofür [mm]f(X\cup Y)[/mm] eigentlich steht.
Mach Dir die Aussage an einem möglichst einfachen Beispiel klar.
Dann betrachte ein Element von [mm]f(X\cup Y)[/mm]. Ist es möglich, dass es weder zu f(X) noch zu f(Y) gehört? Oder kannst Du zeigen, dass es zu einem von beiden (oder ggf. auch beiden) gehört?
> Es sei A = B = [mm]\IN.[/mm]
> Finden Sie ein Beispiel, in dem f(X [mm]\cap[/mm] Y ) [mm]\not=[/mm] f(X)
> [mm]\cap[/mm] f(Y)
Hier geht etwas durcheinander. Wenn [mm] A=B=\IN [/mm] ist, wofür stehen dann X und Y? Ansonsten konstruier doch erstmal ein Beispiel, in dem Gleichheit gilt. Das ist einfacher und zeigt Dir schonmal den Zusammenhang der betrachteten Mengen sowie die Bedeutung der Funktionsanweisung bzw. Abbildung.
> Hallo,
> ich hab versucht die Aufgabe zu Lösen, allerdings will
> mir keine konkrete Lösung für das Beispiel und für den
> Gleicheitsbeweis einfallen.
> Es wäre echt super, wenn mir vielleicht jemand einen
> kleinen Denkanstoß geben könnte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 23.10.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Vielen Dank schonmal für die Hilfe. Ich muss mich auch gleich entschuldigen, da ich wirklich ein Stuck der Aufgabenstellung vergessen habe. Es ist jetzt aber nachgetragen.
Zu der zweiten Aufgabe:
Wenn ich mir jetzt also einfach die beiden Mengen konkret definiere, also z.B X = {1,2,3} und Y = {3,4,5} und dies auf die Funktion f(x) = [mm] x^{2} [/mm] abbilde wären ja beide Seiten der Gleichung äquvivalent, da gelten würde:
f(X [mm] \cap [/mm] Y) = {9} und f(X) [mm] \cap [/mm] f(Y) = {1,4,9} [mm] \cap [/mm] {9,16,25} = {9}
Zu der ersten Aufgabe:
f(X [mm] \cup [/mm] Y) ist ja die Funktion f angewendet auf die Vereinigung der beiden Mengen X und Y, welche laut definition alle Elemente aus der Menge X und alle Elemente aus Y zu einer neuen Menge zusammenführt. Deshalb würde die Gleichung doch immer erfüllt ein.
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank schonmal für die Hilfe. Ich muss mich auch
> gleich entschuldigen, da ich wirklich ein Stuck der
> Aufgabenstellung vergessen habe. Es ist jetzt aber
> nachgetragen.
Ok, gut. Schade, dass bei der zweiten Aufgabe keine nähere Definition von X,Y gegeben ist.
> Zu der zweiten Aufgabe:
> Wenn ich mir jetzt also einfach die beiden Mengen konkret
> definiere, also z.B X = {1,2,3} und Y = {3,4,5} und dies
> auf die Funktion f(x) = [mm]x^{2}[/mm] abbilde wären ja beide
> Seiten der Gleichung äquvivalent, da gelten würde:
> f(X [mm]\cap[/mm] Y) = {9} und f(X) [mm]\cap[/mm] f(Y) = {1,4,9} [mm]\cap[/mm]
> {9,16,25} = {9}
Ja. Nur um zu illustrieren, wann das schiefgeht: seien [mm] X,Y\subset\IZ [/mm] und [mm] f(x)=x^2. [/mm] Wir wählen [mm] X=\{x|x\le{3},\ x\in\IZ\} [/mm] und [mm] Y=\{y|<\ge{-3},\ y\in\IZ\}. [/mm] Dann ist [mm]f(X)\cap f(Y)=\{z|z=a^2,\ a\in\IN\}[/mm] und zugleich ist [mm]f(X\cap Y)=\{0,1,4,9\}[/mm].
Allerdings sollen X,Y wohl aus [mm] \IN [/mm] stammen. Finde also eine Funktion, die auf [mm] \IN [/mm] nicht eindeutig umkehrbar ist (zumindestens teilweise), dann findest Du auch Gegenbeispiele für die Behauptung.
> Zu der ersten Aufgabe:
> f(X [mm]\cup[/mm] Y) ist ja die Funktion f angewendet auf die
> Vereinigung der beiden Mengen X und Y, welche laut
> definition alle Elemente aus der Menge X und alle Elemente
> aus Y zu einer neuen Menge zusammenführt. Deshalb würde
> die Gleichung doch immer erfüllt ein.
Ja, das ist so. Das sollst Du aber streng axiomatisch zeigen.
Welche Axiome stehen Dir denn zur Verfügung?
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:49 So 23.10.2011 | | Autor: | gpvw100 |
Zu den Axiomen:
Aufgrund des aktuellen Vorlesungsstoffes würde ich sagen, dass wir es mit den folgenden Axiomen zeigen sollen:
-Kommutativität
-Assoziativität
-Absorption
-Distributivität
-Komplement
Das sind zumindest die Axiome die in der Vorlesung vorgestellt wurden.
Dazu kommen dann noch aus den Axiomen hergeleitet:
-Idempotenz
-Doppelnegation
-DeMorgansche Regel
-Neutralität
Über Aufgabe eins muss ich dann wohl nochmal ein wenig nachdenken, aber danke nochmal für die Hilfe
MfG
gpvw100
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mi 26.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 23.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Zu der zweiten Aufgabe:
> > Wenn ich mir jetzt also einfach die beiden Mengen
> konkret
> > definiere, also z.B X = {1,2,3} und Y = {3,4,5} und dies
> > auf die Funktion f(x) = [mm]x^{2}[/mm] abbilde wären ja beide
> > Seiten der Gleichung äquvivalent, da gelten würde:
> > f(X [mm]\cap[/mm] Y) = {9} und f(X) [mm]\cap[/mm] f(Y) = {1,4,9} [mm]\cap[/mm]
> > {9,16,25} = {9}
>
> Ja. Nur um zu illustrieren, wann das schiefgeht: seien
> [mm]X,Y\subset\IZ[/mm] und [mm]f(x)=x^2.[/mm] Wir wählen [mm]X=\{x|x\le{3},\ x\in\IZ\}[/mm]
> und [mm]Y=\{y|<\ge{-3},\ y\in\IZ\}.[/mm] Dann ist [mm]f(X)\cap f(Y)=\{z|z=a^2,\ a\in\IN\}[/mm]
> und zugleich ist [mm]f(X\cap Y)=\{0,1,4,9\}[/mm].
> Allerdings sollen X,Y wohl aus $ [mm] \IN [/mm] $ stammen. Finde also eine Funktion, die
> auf $ [mm] \IN [/mm] $ nicht eindeutig umkehrbar ist (zumindestens teilweise), dann findest
> Du auch Gegenbeispiele für die Behauptung.
Um das ganze zu verschaerfen:
eine Funktion $f : X [mm] \to [/mm] Y$ ist genau dann injektiv, wenn fuer alle Teilmengen $A, B [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt $f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$.
LG Felix
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