Beweis von Grenzwertsatz 2 < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | | Beweisen Sie GS2: [mm] \limes _{x \to \ x_a} (f-g) (x) = a-b [/mm] |
Guten Abend
Der Beweis von GS1: [mm] \limes_{x \to \ x_a} (f+g)(x) = a+b [/mm] ist vorgeben. Ich soll jetzt selbstständig GS2: beweisen: Ich werde das jetzt mal versuchen:
Es sei [mm] \epsilon>0 [/mm]
Die Grenzwertbedingungen sind bei f für alle [mm] \epsilon_f>0 [/mm] und bei g für alle [mm] \epsilon_g>0 [/mm] erfüllt. [mm] \epsilon_f = \bruch{\epsilon}{2} [/mm] und [mm] \epsilon_g =\bruch{\epsilon}{2} [/mm]
Ich finde ein [mm] \delta = min(\delta_f, \delta_g) [/mm] so dass für
[mm] x \in U_\delta (x_a) \cap (D_f \cap D_g)[/mm] gilt: [mm] | f(x) - a | < \bruch{\epsilon}{2} \wedge | g(x) + b | < \bruch{\epsilon}{2}[/mm]
[mm] \Rightarrow | (f-g) (x) -(a-b)| = | f(x) - g(x) -a + b | [/mm]
[mm] = | f(x) - a - (g(x) + b)|[/mm] | Betragssatz 8: [mm] |a-b| \le |a| + |b| [/mm]
[mm] | f(x) - a - (g(x) + b) | = |f(x) -a| + |(g(x) + b| [/mm]
[mm] | f(x)-a| + |g(x) + b | < \bruch{\epsilon}{2} + \bruch{\epsilon}{2} = \epsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow | (f-g) (x) - (a-b) < \epsilon [/mm]
So sieht meine Lösung aus. Und Ich bin von meiner Lösung nicht überzeugt, und könnte da ein paar Tips gebrauchen.
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß Dust
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Moin,
> Beweisen Sie GS2: [mm]\limes _{x \to \ x_a} (f-g) (x) = a-b[/mm]
Als Voraussetzung brauchst du
[mm] \lim_{x\to\ x_a}f(x)=a \gdw \forall\varepsilon>0\:\exists \delta_{f,\varepsilon}>0: |f(x)-a|<\varepsilon, \forall x:|x-x_a|<\delta_{f,\varepsilon}\quad [/mm] (*)
[mm] \lim_{x\to\ x_a}g(x)=b \gdw \forall\varepsilon>0\:\exists \delta_{g,\varepsilon}>0: |g(x)-b|<\varepsilon, \forall x:|x-x_a|<\delta_{g,\varepsilon} \quad [/mm] (**)
Dann ist der Beweis nicht schwer, denn für [mm] \varepsilon>0 [/mm] gilt für [mm] \delta_\varepsilon=\min\{\delta_{f,\varepsilon}, \delta_{g,\varepsilon}\}
[/mm]
[mm] |f(x)-g(x)-(a-b)|=|f(x)-a+b-g(x)|\leq|f(x)-a|+|g(x)-b|<\varepsilon+\varepsilon [/mm] für alle x mit [mm] |x-x_a|<\delta_\varepsilon.
[/mm]
(Die erste Abschätzung verwendet die Dreiecksungleichung [mm] |a+b|\leq|a|+|b|.)
[/mm]
Es folgt die Behauptung.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir das Leben doch einfach: setze h:=-g
Wegen |h(x)-(-b)|= |g(x)-b| folgt: $ [mm] \limes [/mm] _{x [mm] \to [/mm] \ [mm] x_a} [/mm] h (x) = -b $
Wegen f-g = f+h, folgt die Beh. aus GS1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | Dust |
Guten Abend,
Ich versuche jetzt mit der Lösung die Ihr mir gesendet habt die hoffentlich richtigen Schlüsse zu ziehen:
Meine Lösung war : [mm] | f(x) - a | + |g(x) + b| < \bruch{\epsilon}{2} + \bruch{\epsilon}{2} = \epsilon. [/mm]
Euerer Lösung entnehme Ich:
[mm] |f(x) - a | + | g(x) - b | < \epsilon + \epsilon [/mm]
Daraus folgt:
[mm] \Rightarrow (f-g)(x) -(a-b) < 2 \epsilon [/mm]
Dann ist in meinen Ansatz folgender Fehler gewesen:
Die Grenzwertbedingungen sind bei f für alle [mm] \epsilon_f >0 [/mm] und bei g für alle [mm] \epsilon_g > 0 [/mm] erfült , demnach auch für
[mm] \epsilon_f = \epsilon [/mm] und [mm] \epsilon_g = \epsilon [/mm]
An dem Lösungsweg von Fred arbeite ich noch.
Ich habe die Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß Dust
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Abend,
>
> Ich versuche jetzt mit der Lösung die Ihr mir gesendet
> habt die hoffentlich richtigen Schlüsse zu ziehen:
>
> Meine Lösung war : [mm]| f(x) - a | + |g(x) + b| < \bruch{\epsilon}{2} + \bruch{\epsilon}{2} = \epsilon.[/mm]
>
> Euerer Lösung entnehme Ich:
>
> [mm]|f(x) - a | + | g(x) - b | < \epsilon + \epsilon[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]\Rightarrow (f-g)(x) -(a-b) < 2 \epsilon[/mm]
>
> Dann ist in meinen Ansatz folgender Fehler gewesen:
>
> Die Grenzwertbedingungen sind bei f für alle [mm]\epsilon_f >0[/mm]
> und bei g für alle [mm]\epsilon_g > 0[/mm] erfült , demnach auch
> für
> [mm]\epsilon_f = \epsilon[/mm] und [mm]\epsilon_g = \epsilon[/mm]
Du hattest bei Dir eigentlich nur einen Rechenfehler (woraufhin Du dann auch falsch weitergerechnet hast):
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] | (f-g) (x) -(a-b)| = | f(x) - g(x) -a + b | $
> = | f(x) - a - (g(x) + b)| | Betragssatz 8: $ |a-b| [mm] \le [/mm] |a| + |b| $
Die letzte Gleichheit ist falsch. Es ist ja nicht [mm] $f(x)-g(x)-a+b=f(x)-a-(g(x)+b)\,,$ [/mm] (rechne mal von rechts nach links: [mm] $f(x)-a-(g(x)+b)=f(x)-a-g(x)\;\red{\bf{-}}\;b)$) [/mm] sondern
$$f(x)-g(x)-a+b=f(x)-a-(g(x)-b)$$
(woraufhin Du
$$|f(x)-g(x)+(-1)*(g(x)-b)| [mm] \le [/mm] |f(x)-a|+|g(x)-b|$$
benützen könntest - beachte [mm] $|(-1)*x|=|-1|*|x|=|x|\,$), [/mm] oder
[mm] $$f(x)-g(x)-a+b=f(x)-a\;+\;b-g(x)$$
[/mm]
(woraufhin Du
[mm] $$|f(x)-a\;+\;b-g(x)| \le [/mm] |f(x)-a|+|b-g(x)|$$
benützen könntest.)
Freds Vorschlag ist doch klar:
Mit $h:=-g$ folgt für alle [mm] $x\,$ [/mm] sodann
[mm] $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=f(x)+h(x)=(f+h)(x)\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun weißt, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}h(x)=:L$ [/mm] existiert, so folgt aus a) GS 1, dass
[mm] $$\lim_{x \to x_0}(f-g)(x)=\lim_{x \to x_0}(f+h)(x)=a+L\,.$$
[/mm]
Fred hat nun (kurz) begründet, dass dieser Limes [mm] $L\,$ [/mm] in der Tat existiert und $=-b$ ist, woraufhin Du
[mm] $$\lim_{x \to x_0}(f-g)(x)=a+(-b)$$
[/mm]
erhältst. Letztstehende Summe kannst Du zu [mm] $a-b\,$ [/mm] umschreiben.
Gruß,
Marcel
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