Beweis von Kern < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:09 So 09.12.2018 | | Autor: | asg |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Es seien $A \in {\IK}^{m \times n}}, b \in {\IK}^m$ und $x_1, x_2\in {\IK}^n$, so dass
$$A \cdot x_1 = A \cdot x_2=b$$
1) Zeige, f. a. $z_1 \in Kern(A)$ gilt $A \cdot (x_1+z_1)=b$.
2) Zeige, $z_2=x_1-x_2$ liegt in $Kern(A)$ |
Hallo zusammen,
ich bin etwas irritiert über den Schwierigkeitsgrad der Aufgaben. Sind die Beweise wirklich so einfach zu führen oder übersehe ich etwas?
Mein Beweis ist wie folgt:
zu 1)
$A \cdot (x_1+z_1)= A \cdot x_1 + A \cdot z_1 \stackrel{Def Kern}{=} A \cdot x_1 + 0= A \cdot x_1 =b$.
zu 2)
$A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) $.
Ich werde die Beweise etwas sauberer aufschreiben, aber eigentlich sollten sie doch richtig sein, oder?
Danke vorab
Viele Grüße
Asg
|
|
| |
|
Hiho,
> ich bin etwas irritiert über den Schwierigkeitsgrad der
> Aufgaben. Sind die Beweise wirklich so einfach zu führen
> oder übersehe ich etwas?
1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen
2: Ja, du übersiehst etwas…
>
> Mein Beweis ist wie folgt:
>
> zu 1)
> [mm]A \cdot (x_1+z_1)= A \cdot x_1 + A \cdot z_1 \stackrel{Def Kern}{=} A \cdot x_1 + 0= A \cdot x_1 =b[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu 2)
> [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
Gruselig!
Warum sollte die erste Implikation gelten?
Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die Antwort: Nein!
Du weißt doch: [mm] $Ax_1 [/mm] = [mm] Ax_2$ [/mm]
Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm] $Ax_2$…
[/mm]
Gruß,
Gono
> Ich werde die Beweise etwas sauberer aufschreiben, aber
> eigentlich sollten sie doch richtig sein, oder?
>
> Danke vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:12 Mo 10.12.2018 | | Autor: | asg |
Guten Morgen Gono,
> 1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen
> 2: Ja, du übersiehst etwas…
> > zu 2)
> > [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>
> Gruselig!
> Warum sollte die erste Implikation gelten?
> Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die
> Antwort: Nein!
>
Ups! Die Implikation ist in der Tat gruselig. Sie gilt selbst bei reinen reellen Zahlen nicht. $A$ könnte z. B. der Nullvektor oder die Einheitsvektor sein.
> Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]
> Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…
Danke für den Tipp.
[mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
Nun müsste es korrekt sein, richtig?
Viele Grüße
Asg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Mo 10.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Gono,
>
> > 1: Ja, die Beweise sind einfach zu führen
> > 2: Ja, du übersiehst etwas…
>
> > > zu 2)
> > > [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Rightarrow x_1=x_2 \Rightarrow z_2=x_1-x_2=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>
> >
> > Gruselig!
> > Warum sollte die erste Implikation gelten?
> > Sind etwa alle Matrizzen injektiv? Ich verrate dir die
> > Antwort: Nein!
> >
>
> Ups! Die Implikation ist in der Tat gruselig. Sie gilt
> selbst bei reinen reellen Zahlen nicht. [mm]A[/mm] könnte z. B. der
> Nullvektor oder die Einheitsvektor sein.
>
> > Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]
> > Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…
>
> Danke für den Tipp.
> [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>
>
> Nun müsste es korrekt sein, richtig?
Ja, jetzt stimmts.
>
> Viele Grüße
> Asg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:44 Mo 10.12.2018 | | Autor: | asg |
Guten Morgen zusammen,
> > > Du weißt doch: [mm]Ax_1 = Ax_2[/mm]
> > > Nun subtrahiere mal auf beiden Seiten [mm]Ax_2[/mm]…
> >
> > Danke für den Tipp.
> > [mm]A \cdot x_1= A \cdot x_2 \Leftrightarrow A \cdot x_1 - A \cdot x_2 = 0 \Leftrightarrow A \cdot (x_1-x_2)=0 \Rightarrow A \cdot (z_2)=0 \stackrel{Def Kern}{\Rightarrow} z_2 \in Kern(A) [/mm].
>
> > Nun müsste es korrekt sein, richtig?
>
> Ja, jetzt stimmts.
> >
Vielen Dank euch beiden!
Liebe Grüße
Asg
|
|
|
|
