Beweis von Konvexität < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 19.03.2006 | | Autor: | Singapur |
| Aufgabe | f(hx1+(1-h)x2)<=hf(x1)+(1-h)f(x2)
Beweisen das das für jedes h zwischen 0 und 1 gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lösungsansatz.
f(hx1+x2-hx2)<=hf(x1)+f(x2)-hf(x2) So hab ich das zuerst probiert ganz allgemein kam da aber nicht sonderlich weit wie man sieht.
Deswegen hab ich das jetzt mit konkretem x1 und x2 gemacht und einer Funktion.
f(x)=x² x1=-5 x2=7
f(-5h+7-7h)<=25h+49-49h
f(-12h+7) <=-24h+49
(-12h+7)² <=-24h+49 das wars dann.
Wie gehe ich jetzt weiter vor, oder kann man eventuell jetzt schon sagen das man erkennt das es für jedes h gilt. Und wenn ja wodrann erkennt man es.
Vielen Dank für hoffentlich bald folgende Antworten.
mfg
Singapur
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 So 19.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Singapur,
> f(hx1+(1-h)x2)<=hf(x1)+(1-h)f(x2)
> Beweisen das das für jedes h zwischen 0 und 1 gilt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Lösungsansatz.
> f(hx1+x2-hx2)<=hf(x1)+f(x2)-hf(x2) So hab ich das
> zuerst probiert ganz allgemein kam da aber nicht sonderlich
> weit wie man sieht.
Das liegt daran, dass das ja nur für konvexe Fkt. gilt. Man muss schon eine bestimmte Fkt. untersuchen.
> Deswegen hab ich das jetzt mit konkretem x1 und x2 gemacht
> und einer Funktion.
Du musst es aber eigentlich für alle x-Werte zeigen, also allgemein mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] weiterrechnen.
>
> f(x)=x² x1=-5 x2=7
> f(-5h+7-7h)<=25h+49-49h
> f(-12h+7) <=-24h+49
> (-12h+7)² <=-24h+49 das wars dann.
>
> Wie gehe ich jetzt weiter vor, oder kann man eventuell
> jetzt schon sagen das man erkennt das es für jedes h gilt.
> Und wenn ja wodrann erkennt man es.
Multipliziere aus, bringe alles auf eine Seite und benutze dann, dass [mm] h^2\leh [/mm] (bzw. [mm] h(1-h)\le0) [/mm] ist für [mm] h\in[0,1]
[/mm]
Wie gesagt, du muss es eigentlich fpr beliebige [mm] x_1, x_2 [/mm] zeigen. Versuchs mal, benutze wieder [mm] h(1-h)\le0
[/mm]
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:38 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Singapur |
Habe deine Antwort gelesen, werde aber nicht ganz schlau daraus.
Also ich Stelle das ganze jetzt nach 0 um. Wenn ich das gemacht habe was bringt mir das dann?
Kannich das dann sehen das das für alle h gilt?
Hab jetzt leider keine Zeit auszumultipliezieren. Werde aber nach der Schule, meine Lösung präsentieren. Vielleicht kannst du mir dann ja noch einmal weiterhelfen.
mfg Singapur
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Moin zusammen,
wie Walde schon schrieb, hast Du in Deiner Frage eine Konvexitätsbedingung geschrieben,
diese dann am Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] mal getestet (oder dies versucht).
Schauen wir uns das doch nochmal an, und probieren wir zu zeigen, dass [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf dem ganzen defBereich [mm] \IR
[/mm]
konvex ist:
Also seien [mm] x_1
[mm] f(h\cdot x_1 +(1-h)\cdot x_2)
[/mm]
= [mm] h^2\cdot x_1^2 +(1-h)^2\cdot x_2^2 [/mm] + [mm] 2h(1-h)\cdot x_1x_2
[/mm]
und wir wollen zeigen, dass dieses [mm] \leq h\cdot x_1^2+ (1-h)\cdot x_2^2 [/mm] ist, oder umgeformt:
h(1-h) [mm] \cdot a\cdot b\:\: \leq\:\: (h-h^2)\cdot a^2\: +\: ((1-h)-(1-h)^2)\cdot b^2
[/mm]
Dies geht relativ leicht für [mm] 0\leq [/mm] a <b oder [mm] a
Den Fall a<0<b betrachtet man zB gesondert.
Gruss,
Mathias
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so ich habe das ganze mal allgemein versucht umzustellen sprich: F(x)=x² x1=allgemin x2=allgemein h=allgemein.
f(hx1+(1-h)x2)<=hf(x1)+(1-h)f(x2)
f(hx1+x2-hx2) <=hx1² +x2²-hx2²
(hx1+x2-hx2)² <=hx1² +x2²-hx2²
so mit diesen schritten bin ich mir relativ sicher.
jetzt versuche ich den vorderen ausdruck mit der binomischen Formel auszumultiplizieren. Dazu betrache ich x2-hx2 als (1-h)x2.
h²x1²+2hx1(1-h)x2+((1-h)x2)²<=hx1² +x2²-hx2²
h²x1²+2hx1x2-2h²x1x2+(x2-hx2)²<=hx1² +x2²-hx2²
h²x1²+2hx1x2-2h²x1x2+x2²-2hx2²+h²x2²<=hx1² +x2²-hx2²
und nun?wie gehe ich weiter vor? ist das schonmal richtig?
>
> Also seien [mm]x_1
>
> [mm]f(h\cdot x_1 +(1-h)\cdot x_2)[/mm]
>
> = [mm]h^2\cdot x_1^2 +(1-h)^2\cdot x_2^2[/mm] + [mm]2h(1-h)\cdot x_1x_2[/mm]
>
vertehe ich nicht so ganz wie du auf die Sachen, die nach dem Plus stehen( "+ [mm]2h(1-h)\cdot x_1x_2[/mm]" kommst wenn du das oben stehende ausmultiplizierst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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