Beweis von Log-Gesetzen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 So 29.10.2006 | | Autor: | Squirl |
| Aufgabe 1 | Beweise mit Hilfe der Logarithmengesetze:
Für alle b [mm] \in \IR^{+} [/mm] \ {1}, x [mm] \in \IR^{+} [/mm] gilt: [mm] log_{b}x [/mm] = [mm] \bruch{lg x}{lg b} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Beweise:
Verläuft ein radioaktiver Zerfallsprozess nach dem Gesetz N (t) = [mm] N_{0}e^{-kt}, [/mm] dann gilt für die Halbwertszeit: [mm] t_{h} [/mm] = [mm] \bruch{ln2}{k}
[/mm]
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Meine Frage dazu lautet wie folgt:
Könnte mir einer von euch bitte einen Lösungsansatz zeigen, der mir verdeutlicht, wie ich diese beiden Gesetze beweisen kann? Denn ich finde bei beiden Aufgaben keinen. Die Logarithmengesetze sind mir bekannt und auch wie ich sie umformen kann. Es happert nur am Ansatz.
Ich wäre den Mitgliedern des Forums wirklich sehr dankbar dafür.
Sollten Fragen zu den Aufgaben bestehen, so helfe ich gerne mit den Informationen, wenn ich sie stellen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 So 29.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Squirl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für die gesuchte Halbwertszeit [mm] $t_h$ [/mm] gilt ja: [mm] $N(t_h) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*N_0$
[/mm]
Setze dies also in die genannte Gleichung ein und stelle nach [mm] $t_h$ [/mm] um.
Bedenke dabei, dass auch gilt: [mm] $\ln\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(1)-\ln(2) [/mm] \ = \ [mm] 0-\ln(2) [/mm] \ = \ [mm] -\ln(2)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 So 29.10.2006 | | Autor: | Squirl |
So also wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe dann sieht es wie folgt aus:
[mm] \bruch{1}{2} \* N_{0} [/mm] = [mm] N_{0} \* e^{-kt_{h}} [/mm] (teilen durch [mm] N_{0})
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] e^{-kt_{h}} [/mm] (log ergänzen)
[mm] \gdw [/mm] ln [mm] (\bruch{1}{2}) [/mm] = ln [mm] (e^{-kt_{h}}) [/mm] (log anwenden)
[mm] \gdw [/mm] - ln (2) = [mm] -kt_{h} [/mm] ( durch -k teilen
[mm] \gdw \bruch{ln (2)}{k} [/mm] = [mm] t_{h}
[/mm]
So sieht meine Lösung aus, wenn ich dich richtig verstanden habe. Ist das Ergebnis auch formal so richtig? Denn inhaltlich stimmt es ja.
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Hi!
Also, die zweite Aufgabe hast du auch in meinen Augen formal korrekt gelöst.
zur ersten:
Du willst die Gleichung
[mm] $x=b^a$
[/mm]
nach a umformen,
Du kannst einfach den log zur Basis b benutzen, dann siehts so aus:
[mm] $a=\log_bx$
[/mm]
Du kannst aber auch einen beliebigen Logarithmus zur Basis c anwenden, dann sieht das erstmal so aus:
[mm] $\log_cx=\log_cb^a$
[/mm]
Jetzt gibt es da das eine log-Gesetz, das besagt, daß du den Exponenten vor den log ziehen darfst:
[mm] $\log_cx=a*\log_cb$
[/mm]
Und hieraus ergibt sich:
[mm] $a=\bruch{\log_cx}{\log_cb}$
[/mm]
Das ist das gleiche wie oben, also
[mm] $a=\bruch{\log_cx}{\log_cb}=\log_bx$
[/mm]
Du müßtest noch drüber nachdenken, ob dieser bruch immer definiert ist. Ist er nämlich nicht, aber wenn du drüber nachdenkst, wann er das nicht ist, wirst du auch feststellen, daß das nicht schlimm ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 So 29.10.2006 | | Autor: | Squirl |
Die Aufgaben sind soweit gelöst. Ich danke meinen Helfern für die schnelle Hilfe und die Denkanstöße.
Meine Lösungen habe ich ja soweit gepostet.
Vielen Dank nochmal
Grüße Squirl
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