Beweis von Monotonieverhalten < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welches Monotonieverhalten zeigen die Funktionen f und g?
f(x) = 2x² + 4x -1
g(x)= 0,5x + 6,5
Beweisen Sie Ihre Aussagen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also: da Funktion f eine Parabel ist, ist alles links vom Scheitelpunkt (-1/-3) streng monoton fallend, und alles rechts davon ist streng monoton wachsend.
Und jetzt kommts: Ich sehe (Ich mache mein Abi per Fernstudium), wie es theoretisch funktioniert, das alles zu beweisen.
Hier heißt es:
"Zur Monotonieuntersuchung wählen Sie zwei Stellen x1 und x2 mit x1<x2."
Ist das so ein mathematischer nichtssagender Satz, oder soll ich mir zwei Werte raussuchen? Wenn ich mir die raussuchen soll, dann beide auf einer Seite des Scheitelpunktes, oder einen auf jeder Seite?
Ich habe grundsätzlich das Talent, um fünf Ecken zu denken, statt den direkten Weg zu gehen, der mir immer dann nicht einfällt, wenn ich ihn brauche.
Kann mir bitte jemand einen Denkanstoß geben?
|
|
| |
|
Hallo Leguan1983!
> Welches Monotonieverhalten zeigen die Funktionen f und g?
>
> f(x) = 2x² + 4x -1
> g(x)= 0,5x + 6,5
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> also: da Funktion f eine Parabel ist, ist alles links vom
> Scheitelpunkt (-1/-3) streng monoton fallend, und alles
> rechts davon ist streng monoton wachsend.
>
> Und jetzt kommts: Ich sehe (Ich mache mein Abi per
> Fernstudium), wie es theoretisch funktioniert, das alles zu
> beweisen.
>
> Hier heißt es:
>
> "Zur Monotonieuntersuchung wählen Sie zwei Stellen x1 und
> x2 mit x1<x2."
Wo heißt es denn so? Da muss es doch danach auch noch weitergehen, oder?
> Ist das so ein mathematischer nichtssagender Satz, oder
> soll ich mir zwei Werte raussuchen? Wenn ich mir die
> raussuchen soll, dann beide auf einer Seite des
> Scheitelpunktes, oder einen auf jeder Seite?
Naja, wenn du zeigen willst, dass es links vom Scheitelpunkt monoton fallend ist, dann solltest du dir, um diese Monotonie zu beweisen, beide Punkte links vom Scheitelpunkt raussuchen. Ansonsten kannst du ja keine Monotonie beweisen. Aber normalerweise sucht man sich bei Beweisen keine einzelnen "Punkte" - das wäre ja quasi "Beweis durch Beispiel" und das geht nicht, denn du kannst ja nicht alle unendlich vielen Beispiele durchprobieren, und wer sagt dir denn, dass das, was du für zwei zufällige Zahlen gezeigt hast, für zwei andere Zahlen nicht vielleicht ganz anders ist!?
Schätzungsweise sollst du allgemein zwei Stellen [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nehmen. Wenn dann [mm] x_1f(x_2), [/mm] wenn f monoton fallen ist. Und das musst du allgemein zeigen, nicht für zwei spezielle Werte. (Manchmal hilft es zum Ausprobieren, es erst für zwei Zahlen und dann erst allgemein zu machen...)
Aber ist es nicht viel einfacher, die Ableitung zu betrachten? Dort, wo die Ableitung positiv ist, ist die Funktion monoton wachsend, wo sie negativ ist, ist sie monoton fallend. Du müsstest also nur die Ableitung berechnen und ihren Nullpunkt finden. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
"Aber ist es nicht viel einfacher, die Ableitung zu betrachten? Dort, wo die Ableitung positiv ist, ist die Funktion monoton wachsend, wo sie negativ ist, ist sie monoton fallend. Du müsstest also nur die Ableitung berechnen und ihren Nullpunkt finden."
Ableitung wovon?
Ich stehe wohl irgendwie auf der Leitung...
In meinem Heft heißt es:
Wir untersuchen das Monotonieverhalten der Funktion f:x -> 2x² - 4x - 1.
Als erstes bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Parabel durch Koeffizientenvergleich des Funktionsterms mit dem Term a*(x-u)² + v.
Das alles ergibt mit dieser Funktion den Scheitelpunkt (1/-3).
Zur Monotonieuntersuchung wählen Sie zwei Stellen x1 und x2 mit x1<x2.
Dann gilt nach Subtraktion von 1: x1 - 1 < x2 - 1.
Links vom Scheitelpunkt (1/-3), d.h für x<1, muss die Funktion streng monoton fallend sein und rechts vom Scheitelpunkt, d. h. für x>1, muss sie streng monoton wachsend sein.
Daher unterscheiden wir Fall a: x<1 und Fall b: x>1
Im Falle a gilt x1<1 und x2<1 |-1
x1-1<0 und x2-1<0
Somit stehen die Terme x1 - 1 und x2 - 1 für gewisse negative Zahlen.
Mit diesen negativen Zahlen multiplizieren Sie die obige Ungleichung
x1 - 1 < x2 - 1.
Da die Zahlen negativ sind, müssen Sie dabei das Ungleichungszeichen umkehren und erhalten:
x1 - 1 < x2 - 1 |*(x1 - 1) < 0 und
x1 - 1 < x2 - 1 |*(x2 - 1) < 0
(x1 - 1)² > (x1 - 1)*(x2 - 1) und
(x1 - 1)*(x2 - 1) > (x2 - 1)²
Da beide mittleren Terme gleich sind und beide Ungleichungen gleichzeitig gelten, lassen sich die beiden Ungleichungen zu einer Ungleichungskette zusammenfassen.
(x1 - 1)² > (x1 - 1)*(x2 - 1) > (x2 - 1)² oder kurz
(x1 - 1)² > (x2 - 1)² | *2 |-3
2(x1 - 1)² - 3 > 2(x2 - 1)² - 3
f(x1) > f(x2).
Aus x1 < x2 folgt daher f(x1) > f(x2), d.h. die Funktion f ist für x < 1 streng monoton fallend.
Analog gehen Sie im Falle b mit x > 1 vor.
Da dann x1 - 1 > 0 und x2 - 1 > 0 sind, darf das Ungleichungszeichen nicht umgedreht werden, und Sie erhalten aus
x1 - 1 < x2 - 1
f(x1) < f(x2).
=> f ist für x>1 streng monoton wachsend.
Das Beispiel habe ich verstanden. Aber ich weiß nicht, wie ich das auf meine Aufgabe umsetzen soll. Ich weiß ja, dass alles was kleiner als -1 (in meiner Aufgabe) ist, monoton fallend ist, und alles was größer ist, ist monoton wachsend.
Das sagt mir meine Logik.
Aber ich kann doch nicht deren ganzen Text übernehmen, wenn ich meinen Beweis führen will.
Das Prinzip verstehe ich. Nur umsetzen kann ich es nicht ( im Moment)
Danke für die Geduld mit meinem langen Text.... ;o)
Leguan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Di 27.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich find dein Argument mit der Parabel gut, aber die wollen scheints was anderes!
also:x2>x1 oder x2-x1>0 jetzt untersuch WO f(x2)-f(x1) >0 also monoton steigend UND WO <0 mon fallend.
DAZU [mm] f(x2)-f(x1)=2(x2^2-x1^2)+4(x2-x1)>0
[/mm]
man kann wegen x2-x1>0 durch 2(x2-x1) dividieren,
bleibt (x2+x1)+2>0 x2+x1>-2 d.h. x2,x1>-1 (da x2 beliebig nah an x1 sein darf.)
entsprechend mit kleiner.
Bei der Geraden ist es noch einfacher, da folgt die Monotonie direkt aus x2-x1>0
(fuer kompliziertere kerven benutzt man die 1. Ableitung um Monotonie zu untersuchen.)
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> also:x2>x1 oder x2-x1>0 jetzt untersuch WO f(x2)-f(x1) >0
> also monoton steigend UND WO <0 mon fallend.
> DAZU [mm]f(x2)-f(x1)=2(x2^2-x1^2)+4(x2-x1)>0[/mm]
> man kann wegen x2-x1>0 durch 2(x2-x1) dividieren,
> bleibt (x2+x1)+2>0 x2+x1>-2 d.h. x2,x1>-1 (da x2 beliebig
> nah an x1 sein darf.)
> entsprechend mit kleiner.
Aber ich kann doch nichts errechnen, wenn ich NUR mit Variablen zu tun habe....
*verzweifel*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Mi 28.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Deine Logik ist richtig, daher weisst du dass die Funktion fuer x<1 faellt.
Nun willst du das beweisen.
erst mal klar formulieren: fallend heisst, wenn x groesser wird, wird f(x) kleiner.
mathematisch fallen, falls aus x2>x1 folgt, f(x2)<f(x1)
Ungleichungen mit 0 sind einfacher deshalb:
aus x2-x1>0 soll folgen f(x2)-f(x1)<0 und ich will das zeigen fuer x1,x2<-1
deshalb bild ich [mm] f(x2)-f(x1)=2(x2^2-x1^2)+4(x2-x1)=2*(x2-x1)*((x2+x1)+2)
[/mm]
so und jetzt benutz ich was ich weiss: 1. die erste Klammer ist positiv, weil ich nur x2-x1>0 betrachte. 2. wenn x1<-1 und x2<-1 dann x1+x2<-2, deshalb ist die zweite klammer negativ, oder als formel x1+x2+2<0, Damit ist f(x2)-f(x1)<0
ich hab Variable benutzt, aber auch die Eigenschaft dass sie kleiner -1 sind.
Jetzt versuch dasselbe mit x1,x2>-1, x1+x2>-2, x1+x2+2>0
was sieht man dann fuer f(x2)-f(x1) wenn x2-x1>0?
Stell dir fuer x1 und x2 einfach Zahlen vor, aber rechne die Differenzen nicht aus, sondern schreib sie nur als kleiner als oder groesser als, dann siehst du, dass es keinen Unterschied macht, ob man krumme Zahlen nimmt, oder ihnen die namen x1 und x2 gibt.
Nicht so schnell verzweifeln!
was dein Lehrheft vormacht, ist zu umstaendlich, das kann man nur, wenn man alles schon genau vorher weiss.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> aus x2-x1>0 soll folgen f(x2)-f(x1)<0 und ich will das
> zeigen fuer x1,x2<-1
> deshalb bild ich
> [mm]f(x2)-f(x1)=2(x2^2-x1^2)+4(x2-x1)=2*(x2-x1)*((x2+x1)+2)[/mm]
das verstehe ich nicht. wie kommst Du denn auf die Faktoren vor den Klammern?
|
|
|
| |
|
> > aus x2-x1>0 soll folgen f(x2)-f(x1)<0 und ich will das
> > zeigen fuer x1,x2<-1
> > deshalb bild ich
> > [mm]f(x2)-f(x1)=2(x2^2-x1^2)+4(x2-x1)=2*(x2-x1)*((x2+x1)+2)[/mm]
>
> das verstehe ich nicht. wie kommst Du denn auf die Faktoren
> vor den Klammern?
Hallo,
die kommen von der Funktion.
Es ist doch
f(x) = 2x² + 4x -1 .
Also ist
[mm] f(x_2)-f(x_1)=(2x_1² [/mm] + [mm] 4x_1 -1)-(2x_2² [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] -1)
[mm] =2x_1²-2x_2²+4x_1-4x_2-1+1
[/mm]
(nun ausklammern)
[mm] =2(x_2^2-x_1^2)+4(x_2-x_1)
[/mm]
[mm] =2(x_2+x_1)(x_2-x_1)+4(x_2-x_1) [/mm] (3.binomische Formel)
(jetzt [mm] 2(x_2-x_1) [/mm] ausklammern)
[mm] =2*(x_2-x_1)*((x_2+x_1)+2)
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mi 28.02.2007 | | Autor: | Leguan1983 |
Ach ja, natürlich...
Ich werde es heute nachmittag ausprobieren, muss nämlich jetzt wieder auf Arbeit... ;o(
Danke für die schnelle Eingebung,
Leguan
|
|
|
| |
|
Ok, ich glaube, langsam komme ich der Sache näher...
aber: wieso heißt die Formel
f(x2) - f(x1) = (2x1² + 4x1 - 1) - (2x2² + 4x2 - 1) ?
Müssten die Klammern nicht vertauscht sein? Oder versteh ich das schon wieder nicht?
Das ist einer der wenigen Nachteile am Fernstudium: man kann keinen Lehrer fragen...
Danke für eure Geduld mit mir,
Mandy
|
|
|
| |
|
Hallo Leguan1983!
> Ok, ich glaube, langsam komme ich der Sache näher...
>
> aber: wieso heißt die Formel
>
> f(x2) - f(x1) = (2x1² + 4x1 - 1) - (2x2² + 4x2 - 1) ?
>
> Müssten die Klammern nicht vertauscht sein? Oder versteh
> ich das schon wieder nicht?
Oh ja, du hast Recht. Wenn zuerst [mm] f(x_2) [/mm] kommt muss die zweite Klammer natürlich als erste stehen.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 01.03.2007 | | Autor: | Leguan1983 |
Danke, ich habe schon befürchtet, ich bin mittlerweile total blöd geworden... ;o)
ein Lichtblick....
|
|
|
|
