Beweis von Ungleichung < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Di 22.05.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
sei [mm] n\in\IN\setminus\{0\}.Dann [/mm] gilt [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}\le 2-\bruch{1}{n} [/mm] |
Meine Lösung
Induktionsanfang:sei n=1 .Dann gilt [mm] \summe_{i=1}^{1}\bruch{1}{i^{2}}=1=2-\bruch{1}{1}.
[/mm]
Induktionsschritt: A(n+1)
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i^{2}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}\le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}=\bruch{(2n-1)}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}=\bruch{(2n-1)(n+1)^{2}+n}{n*(n+1)^{2}}.und [/mm] ich weiß jetzt nicht mehr weiter .Danke im voraus
LG Gene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Di 22.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Probier doch mal n=2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Di 22.05.2012 | | Autor: | gene |
Das Problem ist nicht bei der Induktionafang sondern der Induktionsschritt
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Hallo,
> Das Problem ist nicht bei der Induktionafang sondern der
> Induktionsschritt
Schreib's dir mal für $n=2$ hin, dann kannst du dir den Induktionsschritt sparen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Di 22.05.2012 | | Autor: | gene |
ok Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Di 22.05.2012 | | Autor: | gene |
Ich habe mich bei der Aufgabestellung vertippt .spielt eine rolle wenn das <= ist .Danke im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 22.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Das macht einen großen Unterschied. Schau Dir mal das Monotonieverhalten beider Seiten an. Was musst Du dann zeigen oder eben durch ein Gegenbeispiel widerlegen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 25.05.2012 | | Autor: | gene |
Chrisno ich habe deine idee versuchen aber ich komme nicht weiter kannst du mir sagen wie ich vorgehen soll.danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 25.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Mit dem Unlgeichungszeichen ist die vollständige Indunktion eine gute Idee.
$ [mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{i^{2}}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i^{2}}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}\le 2-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}}= [/mm] ...$
Danach ist es aber keine gute Strategie, die 2 mit in den Bruchterm zu ziehen. Am Ende soll doch da stehen $ ... [mm] \le [/mm] 2 - [mm] \bruch{1}{n+1}$ [/mm] Also untersuch mal, ob [mm] $-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{(n+1)^{2}} \le [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}$.
[/mm]
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