Beweis von binomischer Formel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Fr 28.10.2005 | | Autor: | arikiri |
Hallo,
ich bin seit Anfang dieser Woche Physik Student auf Diplom und muss sagen, dass ich, nach 1 1/2 Jahren Pause, erhebliche Schwierigkeiten mit den Hausaufgaben in Analysis I habe...
Also ehrlich gesagt habe ich eigentlich gar keine Ahnung =)
Ich möchte gar keine vollständige Lösung, sondern nur ein paar hilfreiche Ansätze, damit ich vielleicht selbst drauf kommen kann...
Also einmal müssen wir zeigen, dass für n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] (x+y+z)^n [/mm] = [mm] \summe_{i+j+k=n}^{} \bruch{n!}{i!j!k!} x^i y^j z^k
[/mm]
Für [mm] (a+b)^n [/mm] haben wir das schon gemacht und es war auch kein Problem, aber jetzt versteh ich es einfach gar nicht mehr... Z.B. wie ich das mit den Zahlentripeln von i, j, und k machen soll, die n ergeben. Mir fehlt einfach jeder Ansatz.
Die zweite Aufgabe, bei der ich keinen Ansatz finde lautet:
Zeigen Sie für n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{k \ge0}^{} \vektor{2n+1\\ 2k} [/mm] = [mm] 4^n
[/mm]
Ich habe den Binomialkoeffizienten erstmal ausgeschrieben als
[mm] \bruch{(2n+1)!}{2k!(2n+1-2k)!} [/mm] und dann habe ich versucht eine vollständige Induktion durchzuführen. Bin aber nicht wirklich weit gekommen und weiß auch nicht, ob der Ansatz überhaupt richtig ist.
Ich hoffe, ihr verzeiht mir die spärlichen eigenen Ansätze, aber nach meiner ersten Woche kommt mir das noch alles ein wenig spanisch vor...
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!
Gruß,
David
HINWEIS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Sa 29.10.2005 | | Autor: | pumuckl |
Vor diesem Problem stehe ich auch. Kann uns jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 29.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo David
Zur ersten Frage: auch bei [mm] $(a+b)^n [/mm] $ hätte man schreiben können :
> [mm](x+y+z)^n[/mm] = [mm]\summe_{i+j+k=n}^{} \bruch{n!}{i!j!k!} x^i y^j z^k[/mm]
[mm](x+y)^n[/mm] = [mm]\summe_{i+j=n}^{} \bruch{n!}{i!j!} x^i y^j [/mm]
nur konnte man hier j=n-i schreiben und dann i von 1 bis n.
Es heisst einfach, dass alle vorkommen, so dass die Summe der Exponenten n ist.
Es ist immer gut, wenn man erst mal so was explizit für n=3 oder 4 hinschreibt. Dann hat man
für n=3 ijk: 3,0,0 ; 2,1,0; 2,0,1 ; 1,2,0 ; 1,0,2; 1,1,1; 0,3,0; 0,2,1; 0,1,2; 0,0,3.
denk dran, dass [mm] \vektor{n \\ 0}=1
[/mm]
> Für [mm](a+b)^n[/mm] haben wir das schon gemacht und es war auch
> kein Problem, aber jetzt versteh ich es einfach gar nicht
> mehr... Z.B. wie ich das mit den Zahlentripeln von i, j,
> und k machen soll, die n ergeben. Mir fehlt einfach jeder
> Ansatz.
vielleicht geht es jetzt genauso wie der Bewes für [mm] (a+b)^{n} [/mm]
> Die zweite Aufgabe, bei der ich keinen Ansatz finde
> lautet:
>
> Zeigen Sie für n [mm]\in \IN[/mm] gilt
>
> [mm]\summe_{k \ge0}^{} \vektor{2n+1\\ 2k}[/mm] = [mm]4^n[/mm]
Da sollst du dich an die Formel [mm] (a+b)^{n} [/mm] erinnern und [mm] (1+1)^{2n}=4^{n}
[/mm]
dann musst du immer noch die Summe geschickt ergänzen bzw manipulieren.
Sieh dazu auch die Formeln zu den Binomialkoeffizienten nach.
wie: [mm] \vektor{n+1 \\ r}= \vektor{n\\ r}+ \vektor{n \\ r-1}
[/mm]
> [mm]\bruch{(2n+1)!}{2k!(2n+1-2k)!}[/mm] und dann habe ich versucht
> eine vollständige Induktion durchzuführen. Bin aber nicht
> wirklich weit gekommen und weiß auch nicht, ob der Ansatz
> überhaupt richtig ist.
Meist kann man sowas auch mit vollständiger Ind. beweisen.schein mir aber hier umständlicher
> Ich hoffe, ihr verzeiht mir die spärlichen eigenen Ansätze,
> aber nach meiner ersten Woche kommt mir das noch alles ein
> wenig spanisch vor...
Bleibt noch ne Weile so, wird aber immer besser. (es gibt aber auch Zwischentiefs (und Hochs) im Verständnis. Tröst dich, es geht den meisten so! Und da wir alle so anfingen wird gern verziehen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 29.10.2005 | | Autor: | arikiri |
Danke für diese Hinweise, ich hoffe, ich werde damit weiterkommen...
Jetzt noch eine Frage:
Gibt es eine Möglichkeit,
[mm] \bruch{n!}{i!j!k!} [/mm] umzuschreiben,
wie [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] als [mm] \vektor{n\\ k} [/mm] ??
Dann könnte ich besser Rückschlüsse ziehen auf [mm] (a+b)^n [/mm] ...
Gruß,
David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Es gilt:
$2 \cdot 4^n = 2^{2n+1} = \sum\limits_{k=0}^{2n+1} {{2n+1} \choose k}= 2 \sum\limits_{k=0}^{n} {{2n+1} \choose 2k}}$.
Letzteres sieht man ein, wenn man
$(1+1)^{2n+1} = \sum\limits_{k=0}^{2n+1} {{2n+1} \choose k}$
und
$0 = (1-1)^{2n+1} = \sum\limits_{k=0}^{2n+1} {{2n+1 \chosse k}} (-1)^k$
addiert...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:02 So 30.10.2005 | | Autor: | pumuckl |
Danke für die Zerlegung von
[mm] $\left 2n+1 \choose 2k \right [/mm] $ = [mm] $\left 2n \choose 2k \right [/mm] $ + [mm] $\left 2n \choose 2k-1 \right [/mm] $
aber was kann ich mit dieser Zerlegung anfangen?
Ich habe nun zwei Summen und muss auf [mm] 4^n [/mm] kommen!
Meine Frage mag dumm sein, aber in der Schule hatte ich nicht viel mit Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun.
pumuckl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich sehe auch nicht ganz, was das bringen soll. Ich habe es jetzt jedenfalls anders gelöst (siehe mein anderer Post).
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:46 So 30.10.2005 | | Autor: | arikiri |
Hallo nochmal!
Ich bin etwas am verzweifeln... Morgen um 8.00 muss ich diese Hausaufgabe abgeben, aber ich komme einfach auf keinen grünen Zweig!
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand auf die Schnelle noch mal konkreter helfen würde. Ich glaube, wenn ich einmal gesehen habe, wie man das konkret machen muss, dann kann ich es das nächste mal auf selber anwenden.
Vielen Dank!
Gruß,
David
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