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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 15.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beweisen Sie:
1) [mm] \vektor{n \\ k}\le \vektor{n \\Gausklammer n/2 }.
[/mm]
Dabei sie Gausklammer n/2 die größte natürliche Zahl m mit [mm] m\le [/mm] n/2, also n/2 abgerundet.
2)Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^{n}
[/mm]
3)Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^{^k}\vektor{n \\ k} [/mm] = 0
Weiss nicht, womit ich anfangen soll.!
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Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Beweisen Sie:
> 1) [mm]\vektor{n \\ k}\le \vektor{n \\Gausklammer n/2 }.[/mm]
>
> Dabei sie Gausklammer n/2 die größte natürliche Zahl m
> mit [mm]m\le[/mm] n/2, also n/2 abgerundet.
> 2)Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^{n}[/mm]
>
> 3)Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt: [mm]\summe_{k=0}^{n} (-1)^{^k}\vektor{n \\ k}[/mm]
> = 0
> Weiss nicht, womit ich anfangen soll.!
Probier' es doch mal mit Induktion! Beispiel b):
IA: klar
IV: Die Aussage gelte für n.
IB:
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\n+1} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\0} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k}$
[/mm]
(Theoretisch hätte ich aus der obigen Summe nur den Summanden für $k = n+1$ rausziehen müssen, aber wegen der folgenden Umformung würden negative Werte entstehen, wenn k = 0 weiterhin in der Summe ist):
Nun wenden wir die Rechenregeln für Binomialkoeffizienten an:
[mm] $\vektor{n+1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n\\k-1}$.
[/mm]
-->
[mm] $\vektor{n+1 \\n+1} [/mm] + [mm] \vektor{n+1 \\0} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n+1 \\ k} [/mm] = 2 + [mm] \summe_{k=1}^{n}\left(\vektor{n \\ k} + \vektor{n\\ k-1}\right) [/mm] = 2 + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\ k-1}$
[/mm]
So, nun bist du dran.
- Verwende eine 1 von dem Summanden 2 vorn, um damit wieder den Summanden für k = 0 in die erste Summe zu bekommen.
- Bei der zweiten Summe solltest du eine Indexverschiebung durchführen, also die Summe so manipulieren, dass sie statt k = 1,...,n die Indizes k = 0,...,n-1 durchläuft. Dadurch erreichst du, dass in der Summe wieder der "normale" Binomialkoeffizient [mm] \vektor{n\\k} [/mm] steht.
- Bei der zweiten manipulierten Summe fehlt nun noch der Summand für k = n, da die Summe ja nur von k = 0 bis k = n-1 läuft, den fügst du mit Hilfe der zweiten 1 von dem Summanden 2 vorne ein.
- Nun zweimal IV, und es ist geschafft 
Auf ähnlichem Wege kannst du auch die anderen Beweise führen. Du musst halt schauen, was du für Rechenregeln mit den Binomialkoeffzienten machen kannst. Bei der a) wird es wahrscheinlich darauf hinauslaufen, dass du im Induktionsschritt eine Fallunterscheidung machst, ob n gerade oder n ungerade ist.
Die c) dürfte leichter gehen, vielleicht probierst du die als Nächstes. Wir erwarten Lösungsansätze!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Mir wurde gesagt, dass ich das ohne Induktion beweisen kann. Ich habe das versucht, aber weiss nicht ob erfolgreich:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*1^{n-k}*k^{1}=(1+1)^{n}=2^{n}
[/mm]
Ich weiss nicht ob das reicht...
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Hallo!
> Mir wurde gesagt, dass ich das ohne Induktion beweisen
> kann. Ich habe das versucht, aber weiss nicht ob
> erfolgreich:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*1^{n-k}*\red{1}^{k}=(1+1)^{n}=2^{n}[/mm]
>
> Ich weiss nicht ob das reicht...
Du hast zwar einmal etwas vertauscht, aber ansonsten ist das ein guter Beweis (wenn ihr den Binomischen Satz verwenden dürft, wovon ich jetzt mal ausgehe).
c) geht fast genauso.
Grüße,
Stefan
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