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| Aufgabe | In einem n-dimensionalen affinen Raum seien eine Hyperebene H
und eine beliebige Ebene E gegeben durch die Koordinatengleichungen [mm] \overline{H}\overline{x} [/mm] = [mm] \overline{h} [/mm] und [mm] \overline{E}\overline{x}=\overline{e}.
[/mm]
Zeigen Sie: E und H sind nicht windschief.
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Hallo zusammen,
Ich würde mich freuen, wenn ihr meinem Beweis auf Sauberkeit und Vollständigkeit prüft!
Nur eine Frage vorweg:
Es müssen doch eig die beiden Ebenen, die windschief sein wollen zumindest die gleiche dim haben. Darf ich das voraussetzten?
dim A = n, dim H = n-1, o.B.d.A sei dim E = m, H = [mm] A_1 \vee A_2 \vee...\vee A_{n-1} [/mm] und E = [mm] A_1' \vee A_2' \vee...\vee A_{m}' [/mm] (Die Striche sind nur wegen möglicher Umsortierung dran.)
1. Fall $m [mm] \le [/mm] n$ [mm] \Rightarrow \exists A_i [/mm] mit [mm] $A_i \in [/mm] E [mm] \cap [/mm] H$ [mm] \Rightarrow [/mm] E [mm] \cap [/mm] H [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Fall $m>n$ [mm] \Rightarrow [/mm] V(E) [mm] \supset [/mm] V(H) [mm] \Rightarrow [/mm] sind parallel
Geht das so, oder haut das gar nicht hin?
lg Kai
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> In einem n-dimensionalen affinen Raum seien eine Hyperebene
> H
> und eine beliebige Ebene E gegeben durch die
> Koordinatengleichungen [mm]\overline{H}\overline{x}[/mm] =
> [mm]\overline{h}[/mm] und [mm]\overline{E}\overline{x}=\overline{e}.[/mm]
> Zeigen Sie: E und H sind nicht windschief.
>
> Hallo zusammen,
>
> Ich würde mich freuen, wenn ihr meinem Beweis auf
> Sauberkeit und Vollständigkeit prüft!
>
> Nur eine Frage vorweg:
> Es müssen doch eig die beiden Ebenen, die windschief sein
> wollen zumindest die gleiche dim haben. Darf ich das
> voraussetzten?
Hallo,
guck mal nach, was Ihr bei Euch definiert habt.
Ich kenne es nämlich nicht anders, als daß als "Ebene" zweidimensionale Teilräume bezeichnet werden.
Du sollst also zeigen, daß der n-1 dimensionale Teilraum H und der zweidimensionale Teilraum E nicht windschief sein können.
Das bedeutet: sie sind parallel oder sie schneiden sich.
Um von "windschief" zu reden, müssen die Teilräume nicht dieselbe Dimension haben. Wenn zwei Teilräume weder parallel sind noch sich schneiden, dann heißen sie "windschief".
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> dim A = n, dim H = n-1, o.B.d.A sei dim E = m, H = [mm]A_1 \vee A_2 \vee...\vee A_{n-1}[/mm]
> und E = [mm]A_1' \vee A_2' \vee...\vee A_{m}'[/mm] (Die Striche
> sind nur wegen möglicher Umsortierung dran.)
Ich verstehe die Schreibweise nicht richtig:
soll
> H=[mm]A_1 \vee A_2 \vee...\vee A_{n-1}[/mm]
bedeuten, daß H von den [mm] A_i [/mm] erzeugt wird?
> nur wegen möglicher Umsortierung dran.)
Aber es ist doch nirgends gesagt, daß E eine Teilmenge von H sein soll.
Du mußt Deine Lösung umarbeiten.
Möglicherweise bist Du bzgl. der affinen Teilräume noch irgendwie auf dem falschen Trip.
Du kennst affine Teilräume bereits aus der Schule.
Gehen wir in den [mm] \IR^3.
[/mm]
Seine zweidimensionalen affinen Teiltäume sind sämtliche Ebenen, die eindimensionalen sämtliche Geraden.
Gruß v. Angela
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> 1. Fall [mm]m \le n[/mm] [mm]\Rightarrow \exists A_i[/mm] mit [mm]A_i \in E \cap H[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] E [mm]\cap[/mm] H [mm]\not= \emptyset[/mm]
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> 2. Fall [mm]m>n[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] V(E) [mm]\supset[/mm] V(H) [mm]\Rightarrow[/mm] sind
> parallel
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> Geht das so, oder haut das gar nicht hin?
>
> lg Kai
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