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Kann man [mm] \IQ, [/mm] + so zeigen:
a,b,c [mm] \in \IQ
[/mm]
G1:
(a + b) + c = a + (b + c)
a+b+c = a+b+c
G2:
neutrales Element: 1
G3:
-a + a = e
G4:
a+b = b+a
?
EDIT:
Hier die Zusammenfassung der ganzen Beiträge:
G1:
[mm](\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{c}{d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm](\bruch{c}{d}[/mm] + [mm]\bruch{e}{f})[/mm]
[mm](\bruch{a*d+b*c}{b*d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + ([mm]\bruch{c*f+e*d}{d*f})[/mm]
[mm]\bruch{(a*d+b*c*f+e*b*d}{b*d*f}[/mm] =
[mm]\bruch{a*d*f+b*c*f+e*d)}{b*d*f}[/mm]
G2:
[mm] \frac{a}{b}+\frac{0}{1} [/mm] = [mm] \frac{a*1+0*b}{1*b} [/mm] = [mm] \frac{a}{b} [/mm]
G3:
[mm]\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}+\frac{-1}{1}\cdot{}\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{(-1)\cdot{}a}{1\cdot{}b}=\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{a\cdot{}b+b\cdot{}(-a)}{b\cdot{}b}=...=\frac{0}{b^2}=0=\frac{0}{1}[/mm]
Die "..." nutzen Rechenregeln in [mm] $\IZ$ [/mm] aus!
Die abgeschlossenheit, sowie Addition/Multiplikation in [mm] \IZ [/mm] werden hier nicht bewiesen!
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Hallo studentxyz,
> Kann man [mm]\IQ,[/mm] + so zeigen:
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Meinst du, ob man auf die folgende Weise zeigen kann, dass [mm](\IQ,+)[/mm] eine Gruppe ist?
>
>
> a,b,c [mm]\in \IQ[/mm]
>
> G1:
> (a + b) + c = a + (b + c)
> a+b+c = a+b+c
>
> G2:
> neutrales Element: 1
>
> G3:
> -a + a = e
>
> G4:
> a+b = b+a
>
> ?
Es fehlen jegliche Beweise! Da steht nur, was zu zeigen ist.
Außerdem fehlt als Punkt G0 die Abgeschlossenheit von [mm]\IQ[/mm] bzgl. +:
Zeige: [mm]\forall a,b\in\IQ: a+b\in\IQ[/mm]
Nutze mal aus, wie du ein Element [mm]a\in\IQ[/mm] schreiben kannst ...
Gruß
schachuzipus
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Ja, es geht um die Gruppe ( [mm] \IQ, [/mm] +)
G1:
[mm] (\bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d}) [/mm] + [mm] \bruch{e}{f} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] (\bruch{c}{d} [/mm] + [mm] \bruch{e}{f})
[/mm]
[mm] (\bruch{a*d+b*c}{b*d}) [/mm] + [mm] \bruch{e}{f} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] + ( [mm] \bruch{c*f+e*d}{d*f})
[/mm]
[mm] \bruch{(a*d+b*c)*f+e*b*d}{b*d*f} [/mm] = [mm] \bruch{a*d*f+b*(c*f+e*d)}{b*d*f}
[/mm]
Besonders eindeutig sieht man es hiermit nicht, wie macht man das besser?
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> Ja, es geht um die Gruppe ( [mm]\IQ,[/mm] +)
>
> G1:
> [mm](\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{c}{d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] =
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm](\bruch{c}{d}[/mm] + [mm]\bruch{e}{f})[/mm]
> [mm](\bruch{a*d+b*c}{b*d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + (
> [mm]\bruch{c*f+e*d}{d*f})[/mm]
> [mm]\bruch{(a*d+b*c)*f+e*b*d}{b*d*f}[/mm] =
> [mm]\bruch{a*d*f+b*(c*f+e*d)}{b*d*f}[/mm]
>
> Besonders eindeutig sieht man es hiermit nicht, wie macht
> man das besser?
Hallo,
wenn Du im Zähler die Klamern auflöst (und Dir gleichzeitig überlegst, warum Du das darfst), sieht man die Gleichheit doch deutlich.
Gruß v. Angela
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> > Ja, es geht um die Gruppe ( [mm]\IQ,[/mm] +)
> >
> > G1:
> > [mm](\bruch{a}{b}[/mm] + [mm]\bruch{c}{d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] =
> > [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + [mm](\bruch{c}{d}[/mm] + [mm]\bruch{e}{f})[/mm]
> > [mm](\bruch{a*d+b*c}{b*d})[/mm] + [mm]\bruch{e}{f}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] +
> (
> > [mm]\bruch{c*f+e*d}{d*f})[/mm]
> > [mm]\bruch{(a*d+b*c)*f+e*b*d}{b*d*f}[/mm] =
> > [mm]\bruch{a*d*f+b*(c*f+e*d)}{b*d*f}[/mm]
> >
> > Besonders eindeutig sieht man es hiermit nicht, wie macht
> > man das besser?
>
> Hallo,
>
> wenn Du im Zähler die Klamern auflöst (und Dir
> gleichzeitig überlegst, warum Du das darfst), sieht man
> die Gleichheit doch deutlich.
>
Ah stimmt, die Multiplikation ist assoziativ. also kann die Klammer im Zähler wegfallen.
G2:
neutrales Element = 0
0 + [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] reicht das?
G3:
[mm] -\bruch{a}{b}+\bruch{a}{b} [/mm] = 0
G4:
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] + [mm] \bruch{c}{d} [/mm] = [mm] \bruch{c}{d} [/mm] + [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
[mm] \bruch{a*d+c*b}{b*d} [/mm] = [mm] \bruch{a*d+c*b}{b*d}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei G3 fehlt die eigentliche Beweiszeile
in den anderen Rechnungen der hinweis, dass zu Kommutativ und assotiativgesetz der ganzen zahlen benutzt.
die abgeschlosenheit unter addition fehlt auch noch
Gruss leduart
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> Hallo
> bei G3 fehlt die eigentliche Beweiszeile
G3:
[mm] -\bruch{a}{b}+\bruch{a}{b} [/mm] = 0
0 = 0
Wie kann man das weiter beweisen?
> in den anderen Rechnungen der hinweis, dass zu Kommutativ
> und assotiativgesetz der ganzen zahlen benutzt.
> die abgeschlosenheit unter addition fehlt auch noch
Werde ich nochmal nachfragen, haben wir aber bisher soweit ich weiss als gegeben hingenommen.
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> > Hallo
> > bei G3 fehlt die eigentliche Beweiszeile
>
> G3:
>
> [mm]-\bruch{a}{b}+\bruch{a}{b}[/mm] = 0
> 0 = 0
>
> Wie kann man das weiter beweisen?
Hallo,
von "weiter beweisen" kann überhaupt nicht die Rede sein. Du müßtest erstmal beginnen, irgendetwas zu beweisen.
[mm] -\bruch{a}{b} [/mm] bedeutet ja zunächst mal nichts anderes als "das Inverse von [mm] \bruch{a}{b} [/mm] bzgl der Addition."
Welches nun das Inverse von [mm] \bruch{a}{b} [/mm] bzgl der Addition ist, wäre erstmal zu überlegen.
Das, was Du schreibst deutet daraufhin, daß Ihr gesagt habt, daß rationale Zahlen Zahlen der Gestalt [mm] \bruch{p}{q} [/mm] sind mit [mm] p\in \IZ [/mm] und [mm] q\in \IZ\\{0}, [/mm] und dann habt Ihr eine Addition von rationalen Zahlen erklärt.
Neckische Zahlen der Gestalt [mm] \*\bruch{p}{q}, [/mm] § [mm] \bruch{p}{q}, ]\bruch{p}{q}, -\bruch{p}{q} [/mm] sind aber gar nicht erklärt.
Zurück zur Aufgabe: Du hast zu zeigen, daß es zu jedem [mm] \bruch{a}{b}\in \IQ [/mm] ein inverses Element gibt.
Nun mußt Du ein Element der Gestalt [mm] \bruch{p}{q} [/mm] angeben und dann unter Nutzung der Regeln für die Addition rationaler Zahlen und die Regeln, die Dir für das Rechnen mit ganzen Zahlen bekannt sind, vorrechnen, daß die Summe das neutrale Element von [mm] \IQ [/mm] ergibt.
Ich finde übrigens auch den Beweis zum neutralen Element nicht befriedigend. Müßte nicht das neutrale Element von [mm] \IQ [/mm] auch die Gestalt der Elemente aus [mm] \IQ [/mm] haben?
Bedenke, daß Du nicht aus dem Wissen schöpfen darfst, was Du in der Unterstufe erworben hast, sondern nur mit Sätzen und Definitionen aus Deiner Vorlesung arbeiten darfst.
Und an dieser Stelle (nunja, in Wahrheit bereits im Angesichte der Aufgabenstellung) steht für mich eine weitere Frage im Raum: habt Ihr die rationalen Zahlen wirklich als Brüche definiert, oder anders? Womöglich als Äquivalenzklassen? Falls dem so ist, müßtest Du natürlich die geforderten Beweise entsprechend führen.
> Werde ich nochmal nachfragen, haben wir aber bisher soweit
> ich weiss als gegeben hingenommen.
In dem Moment, indem Du die Gruppeneigenschaften zeigen sollst, mußt Du prüfen, ob die Verknüpfung zweier Elemente der Menge wieder ein Element der Menge liefert.
Da gibt's nichts als gegeben hinzunehmen - zumal die Überprüfung ja wirklich einfach ist.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Sa 07.01.2012 | | Autor: | studentxyz |
Da nächste Woche die Klausur ansteht, verschiebe ich diese Aufgabe auf nach die Klausur.
Danke für eure Zeit.
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> Zurück zur Aufgabe: Du hast zu zeigen, daß es zu jedem
> [mm]\bruch{a}{b}\in \IQ[/mm] ein inverses Element gibt.
> Nun mußt Du ein Element der Gestalt [mm]\bruch{p}{q}[/mm] angeben
> und dann unter Nutzung der Regeln für die Addition
> rationaler Zahlen und die Regeln, die Dir für das Rechnen
> mit ganzen Zahlen bekannt sind, vorrechnen, daß die Summe
> das neutrale Element von [mm]\IQ[/mm] ergibt.
[mm] \bruch{a}{b} [/mm] + ( - [mm] \bruch{a}{b} [/mm] ) = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] - [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Mehr fällt mir dazu nicht ein :(
die Nenner sind hier ja schon identisch.
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Hallo nochmal,
> > Zurück zur Aufgabe: Du hast zu zeigen, daß es zu jedem
> > [mm]\bruch{a}{b}\in \IQ[/mm] ein inverses Element gibt.
> > Nun mußt Du ein Element der Gestalt [mm]\bruch{p}{q}[/mm] angeben
> > und dann unter Nutzung der Regeln für die Addition
> > rationaler Zahlen und die Regeln, die Dir für das Rechnen
> > mit ganzen Zahlen bekannt sind, vorrechnen, daß die Summe
> > das neutrale Element von [mm]\IQ[/mm] ergibt.
>
> [mm]\bruch{a}{b}[/mm] + ( - [mm]\bruch{a}{b}[/mm] ) = [mm]\bruch{a}{b}[/mm] - [mm]\bruch{a}{b}[/mm] = [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
Eieiei, [mm]\frac{0}{0}[/mm] ????
Das ist nicht gut ...
Wie ist die Addition definiert?
Es ist [mm]\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}+\frac{-1}{1}\cdot{}\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{(-1)\cdot{}a}{1\cdot{}b}=\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{a\cdot{}b+b\cdot{}(-a)}{b\cdot{}b}=...=\frac{0}{b^2}=0=\frac{0}{1}[/mm]
Die "..." nutzen Rechenregeln in [mm] $\IZ$ [/mm] aus!
Ebenso [mm]-\frac{a}{b}+\frac{a}{b}=0[/mm]
> Mehr fällt mir dazu nicht ein :(
> die Nenner sind hier ja schon identisch.
Du musst schon auf die Definitionen der Addition und Multiplikation der rationalen Zahlen zurückgreifen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
>
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> Eieiei, [mm]\frac{0}{0}[/mm] ????
Vielleicht meint er auch [mm] \frac{Ei}{Ei}
[/mm]
Besser wirds damit nicht, aber er ist weiter weg von der Todesstrafe....
FRED
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[mm]\frac{a}{b}+\left(-\frac{a}{b}\right)=\frac{a}{b}+\frac{-1}{1}\cdot{}\frac{a}{b}=\frac{a}{b}+\frac{(-1)\cdot{}a}{1\cdot{}b}=\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{a\cdot{}b+b\cdot{}(-a)}{b\cdot{}b}=...=\frac{0}{b^2}=0=\frac{0}{1}[/mm]
darf man den ... Teil als:
[mm] \bruch{\underbrace{b+b+...+b}_{a mal} \underbrace{+(-a)+(-a)+(-a)...+(-a)}_{b mal}}{b \cdot b} [/mm] = [mm] \bruch{0}{b^2}
[/mm]
schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich setze vorraus dass die Regeln für [mm] a,b\in\IZ [/mm] bekannt sind. dann beziehst du dich darauf und musst die nicht erst mit a*b=a+a+a-... herleiten
du mußt nur sagen, welche -bekannten- Gesetze aus [mm] \IZ [/mm] du verwendest.
Gruss leduart
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Jetzt fehlt noch G2, Existens eines neutralen Elements:
[mm] \frac{a}{b}+\frac{0}{1} [/mm] = [mm] \frac{a*1+0*b}{1*b} [/mm] = [mm] \frac{a}{b}
[/mm]
ausgehend davon das die Rechenregeln der Addition/Multiplikation für [mm] \IZ [/mm] bekannt sind.
Kann man das so schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mo 16.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
si ists richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mi 18.01.2012 | | Autor: | studentxyz |
Danke für die viele Geduld die ihr aufgebracht habt um meine Fragen zu beantworten.
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