Beweis zu Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Seien p eine Primzahl und [mm] a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\IN. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] p|a_{1}a_{2}...a_{n} \Rightarrow (p|a_{1} \vee p|a_{2} \vee ...\vee p|a_{n}) [/mm] |
Guten Tag zusammen.
Haben in der Vorlesung bereits den Satz bewiesen, dass gilt:
p|a*b [mm] \Rightarrow [/mm] p|a [mm] \vee [/mm] p|b
Nun habe ich den Beweis wie folgt versucht:
Es gelte [mm] p|a_{1}a_{2}...a_{n}. [/mm] Definiere [mm] a_{1}*a_{2}*...*a_{n-1}=q
[/mm]
[mm] \Rightarrow p|q*a_{n}. [/mm] (*)
Z.z. p|q [mm] \vee p|a_{n}
[/mm]
1. Fall : p|q fertig
2. Fall: p|q [mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \not\in [/mm] T(q) [mm] \Rightarrow [/mm] p [mm] \not\in [/mm] T(q) [mm] \cap [/mm] T(p) [mm] \Rightarrow [/mm] T(q) [mm] \cap [/mm] T(p) ={1} [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(q,p)=1 [mm] \Rightarrow p|a_{n} [/mm] (*)
(Für den letzten Pfeil hatten wir einen Satz)
Geht das so, oder habe ich was missachtet und das geht irgendwo schief?
Durfte ich einfach q definieren ?
Viele Grüße und danke für Hilfe
Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Seien p eine Primzahl und [mm]a_{1},a_{2},...,a_{n}\in\IN.[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]p|a_{1}a_{2}...a_{n} \Rightarrow (p|a_{1} \vee p|a_{2} \vee ...\vee p|a_{n})[/mm]
> Haben in der Vorlesung bereits den Satz bewiesen, dass
> gilt:
> p|a*b [mm]\Rightarrow[/mm] p|a [mm]\vee[/mm] p|b
>
> Nun habe ich den Beweis wie folgt versucht:
> Es gelte [mm]p|a_{1}a_{2}...a_{n}.[/mm] Definiere
> [mm]a_{1}*a_{2}*...*a_{n-1}=q[/mm]
> [mm]\Rightarrow p|q*a_{n}.[/mm] (*)
> Z.z. p|q [mm]\vee p|a_{n}[/mm]
> 1. Fall : p|q fertig
Warum denn das?
> 2. Fall: p|q [mm]\Rightarrow[/mm] p [mm]\not\in[/mm] T(q) [mm]\Rightarrow[/mm] p
> [mm]\not\in[/mm] T(q) [mm]\cap[/mm] T(p) [mm]\Rightarrow[/mm] T(q) [mm]\cap[/mm] T(p) ={1}
> [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(q,p)=1 [mm]\Rightarrow p|a_{n}[/mm] (*)
> (Für den letzten Pfeil hatten wir einen Satz)
Aber was ist der Unterschied zwischen dem 1. und dem 2. Fall? In beiden Fällen gilt p|q. Im 2. Fall soll wahrscheinlich gerade das Gegenteil gelten.
> Geht das so, oder habe ich was missachtet und das geht
> irgendwo schief?
> Durfte ich einfach q definieren ?
Das darfst du natürlich, du bist ein freier Mensch. Versuch doch mal, deinen Gedankengang korrekt auf vollständige Induktion umzusetzen. Der Ind.-Anfang ist n = 2, den hattest du in der Vorlesung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ja genau, beim zweiten Fall soll teilt nicht stehen, finde aber das Symbol dazu hier nicht.
Ich weiß, dass einiges es mit vollständiger Induktion bewiesen haben. Meine Frage ist eher, ob es auch so geht, oder man die Induktion durchführen muss.
VG
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Hallo,
wenn ich das richtig verstehe, IST dein Beweis eine etwas unsauber formulierte Induktion - denn:
Wenn p | q, dann bist du nicht fertig, denn q besteht ja aus n-1 Faktoren. Im anderen Fall, dass p nicht q teilt, muss zwangsläufig dann p | [mm] a_n [/mm] gelten, also bist du da fertig.
Jetzt musst du dein q wieder aufspalten in ein Produkt aus 2 Faktoren, z.B. [mm] q_2 [/mm] = [mm] a_1* [/mm] .... [mm] *a_{n-2}
[/mm]
usw.
Wie du merkst, ist das ein Induktionsbeweis, nur eben nicht gut aufgeschrieben, so dass du jetzt ein usw. brauchst und ein "Induktionsende". Also geht es, ist nur schlechter/unsauberer/weniger elegant UND nicht mal eine andere Beweisidee.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 10.12.2010 | | Autor: | statler |
Dem ist nichts hinzuzufügen.
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hey, super vielen Dank. Ist total einleuchtend.
Viele Grüße
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