Beweis zu Unterräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie: W1, W2 sind Unterräume von V.
Dann gilt: W1 + W2 = L(W1 [mm] \cup [/mm] W2)
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Hallo liebe Freunde der Mathematik!
An sich habe ich die Frage verstanden. Meine Frage ist, ob es reicht, sich endlichdimensionale Unterräume vorzustellen und die Aussage für diese zu beweisen.
Angenommen w1 [mm] \in [/mm] W1 und w2 [mm] \in [/mm] W2:
Dann gilt je
W1 + W2 = {v: v = w1 + w2}
(und hier mein Problem bei unendlichdimensionalen Unterräumen):
Sei {ai} i = 1,...,n Basis in W1 und {bi} i = 1,...,m Basis in W2: dann glit ja:
{v: v = w1 + w2}
= {v: v = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ti ai + [mm] \summe_{i=1}^{m} [/mm] si bi } , (für gewisse ti und si)
= {v: v = L(W1) + L(W2)}
= L(W1 [mm] \cup [/mm] W2).
Wobei mir der letzte Schritt zwar logisch vorkommt, aber nicht 100 pro mathematisch schlüssig für mich ist.
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gepostet.
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 So 30.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen Sie: W1, W2 sind Unterräume von V.
> Dann gilt: W1 + W2 = L(W1 [mm]\cup[/mm] W2)
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> Hallo liebe Freunde der Mathematik!
>
> An sich habe ich die Frage verstanden. Meine Frage ist, ob
> es reicht, sich endlichdimensionale Unterräume vorzustellen
> und die Aussage für diese zu beweisen.
Wenn du es nur für endlich-dimensionale Unterräume beweist, sagt das eben nichts über den unendlich-dimensionalen Fall aus. Was hier "reicht" hängt eben davon ab wofür du es brauchst.
Dein Beweis ist totaler Murx, ich spar es mir jetzt mal den auseinander zu nehmen und sag dir stattdessen, wie man die Behauptung zerlegt in kleine, leichtere Probleme.
Als erstes sollten wir uns im klaren darüber sein, was überhaupt L(M) für eine Teilmenge [mm] $M\subset [/mm] V$ bedeutet. Ich nehme an, es geht um die lineare Hülle, d.h. [mm] $L(M):=\{\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i | n\in\IN, \lambda_i\in\IR, v_i\in M\text{ für alle }1\le i\le n\}$ [/mm] ist genau die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus M. Weiter ist [mm] $W_1+W_2=\{w_1+w_2| w_1\in W_1\text{ und }w_2\in W_2\}$. [/mm] Wir wollen nun [mm] $W_1+W_2=L(W_1\cup W_2)$ [/mm] zeigen, dazu müssen wir zeigen:
1) [mm] $W_1+W_2\subset L(W_1\cup W_2)$, [/mm] d.h. musst dir ein beliebiges Element aus [mm] $W_1+W_2$ [/mm] schnappen (welche Form hat dieses laut Definition von [mm] W_1+W_2?) [/mm] und zeigen, dass dieses auch in [mm] $L(W_1\cup W_2)$ [/mm] liegt. (das ist eigentlich total trivial)
2) [mm] $W_1+W_2\supset L(W_1\cup W_2)$, [/mm] also wie oben, nur andersrum: Nimm dir ein [mm] $v\in L(W_1\cup W_2)$ [/mm] beliebig und zeige, dass [mm] $v\in W_1+W_2$ [/mm] liegt, d.h. konstruiere [mm] $u\in W_1$ [/mm] und [mm] $w\in W_2$ [/mm] mit v=u+w (das ist fast trivial)
Gleichheit von Mengen zeigt man immer so!!!
Gruß, Robert
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Erstmal danke für die Antwort.
Grundsätzlich ist mir aufgefallen, das es mir schwer fällt, mir die Addition von Unterräumen vorzustellen.
Mit Skizzen versteh ich das ja. Z.B nehm ich 2 sich schneidende Ebenen und nemhe jeweils einen Vektor und Addiere die beiden und erhalte somit den gesammten R3.
Aber wie kann ich dass denn Verallgemeinern.
Ich hänge an dem Punkt, bei dem ich erst sage mein Element aus W1 + W2 (ich habs einfach x genannt) x = w1 + w2, mit w1 in W1 und w2 [mm] \in [/mm] W2.
Wie mache ich jetzt weiter? Ich hab versucht jetzt W1 und W2 als linearkombination von deren Basisvektoren darzustellen. Dabei hab ich aber jetzt das Problem das die beiden Summen ja nicht bis zum gleich Summanden gehen.
Ey iwie is da der Wurm drinne...
lg Kai
und schonmal danke im voraus.
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>> 1) $ [mm] W_1+W_2\subset L(W_1\cup W_2) [/mm] $,
>> 2) $ [mm] W_1+W_2\supset L(W_1\cup W_2) [/mm] $
> Grundsätzlich ist mir aufgefallen, das es mir schwer fällt,
> mir die Addition von Unterräumen vorzustellen.
>
> Mit Skizzen versteh ich das ja. Z.B nehm ich 2 sich
> schneidende Ebenen und nemhe jeweils einen Vektor und
> Addiere die beiden und erhalte somit den gesammten R3.
Hallo,
das klappt allerdings nur, wenn die Ebenen nicht parallel sind.
In diesem Falle nämlich kannst Du Dir aus den beiden Ebenen insgesamt 3 Vektoren so herausnehmen, daß Du eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] hast.
> Ich hänge an dem Punkt, bei dem ich erst sage mein Element
> aus W1 + W2 (ich habs einfach x genannt) x = w1 + w2, mit
> w1 in W1 und w2 [mm]\in[/mm] W2.
>
> Wie mache ich jetzt weiter?
Wenn du erstmal sagen würdest, was Du eigentlich zeigen möchtest, wäre ja schon viel gewonnen.
Ich gehe mal davon aus, daß Du bei 1) bist.
Mit [mm] w_1+w_2 [/mm] hast Du ein Element aus [mm] W_1+W_2, [/mm] und nun möchtest Du zeigen, daß es auch in [mm] L(W_1\cup W_2) [/mm] liegt, also als Linearkombination von Elementen aus [mm] W_1\cup W_2 [/mm] zu schreiben ist.
> Ich hab versucht jetzt W1 und
> W2 als linearkombination von deren Basisvektoren
> darzustellen.
Wofür? Du hast doch schon eine Linearkombination wie fordert dastehen: [mm] w_1+w_2=1*w_1+1*w_2\in L(W_1\cup W_2).
[/mm]
Ich verwende das Wort nicht gern, aber hier reden wir wirklich über eine Trivialität.
> Dabei hab ich aber jetzt das Problem das die
> beiden Summen ja nicht bis zum gleich Summanden gehen.
Ich verstehe das Problem der Summanden nicht. Man müßte sich doch u.U. sogar damit abfinden, daß die Basen der Unterräume komplett verschieden sind.
>
Gruß v. Angela
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Danke vielmals!
Manchmal ist der Wald einfach hinter zu vielen Bäumen versteckt...^^
Ich war viel zu sehr von Basisvektoren benebelt, dass das iwie schon die Lösung sein könnte^^
Der Schlag auf den Hinterkopf hat echt geholfen!
Die Frage hat sich damit erledigt...
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