Beweis zu det und Martizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 26.03.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | | Beweisen sie: ist [mm] A\in M_{n\times n}(K) [/mm] mit [mm] A^2=A [/mm] und [mm] det\not= [/mm] A, so ist [mm] A=E_n [/mm] wobei [mm] E_n [/mm] die Einheitsmatix darstellt mit n zeilen und n spalten |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, ich hab das folgendermaßen versucht:
Da die quadratischen matritzen eine Gruppe bilden mit neutralem Element [mm] E_n [/mm] und dies eind. bestimmt ist, kann A nur die null Matrix sein, da diese quadriert auch wieder die null matrix ergibt, was aber wegen der Bedinung [mm] det(A)\not= [/mm] 0 sein kann oder A ist [mm] E_n [/mm] denn wenn [mm] A\not= E_n
[/mm]
dann wäre sie ja zu sich selbst neutral, was einen wiederspruch dazugeben würde, dass [mm] E_n [/mm] als neutrales ELement eind. bestimmt ist.
Kann man die aufgabe ca so beantworten?
bin dankbar für jede hilfe =)
Gruß Ari
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 So 26.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Ari,
du willst also sagen : A*B=A und deshalb muss folgen B=Einheitsmatrix, richtig?
Implizit verwendest du dabei aber, dass du das A auf beiden Seiten kürzen darfst - dies geht hier zwar, weil detA ungleich 0, aber dann kannst du es auch direkt machen:
A hat eine Inverse, denn detA ungleich 0, also:
[mm] $A^2=A \quad\gdw\quad A^{-1}*A^2=A^{-1}*A \quad\gdw\quad A=E_n$
[/mm]
das wars schon..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 So 26.03.2006 | | Autor: | AriR |
wow danke.. das ist denke ich mal der erwartet lösungsweg gewesen =)
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