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Beweis zur Injektivität: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:37 So 22.02.2009
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe 1
Sei [mm]d:A\rightarrow X, f:X\rightarrow Y ,e:B\rightarrow Y, g:A\rightarrow B[/mm] ein kommutatives Diagramm von Abbildungen, und d und e seien bijektiv.Man beweise: g ist genau dann injektiv, wenn f injektiv ist.

Aufgabe 2
Für [mm] \alpha\in [/mm] K definieren wir:

[mm] U_{\alpha}=[(x_1,x_2,x_3)\in K^3|x_1+x_2+x_3=\alpha] [/mm]

[mm] Beweise:U_{\alpha} [/mm] ist genau dann ein Untervektorraum von [mm] K^3, [/mm] wenn [mm] \alpha=0. [/mm]

Hallo!

Da ich mit Beweisen so gut wie keine Erfahrung habe und keine Lösungen besitze möchte ich euch um Hilfe bitten:


Meine Idee:


1.

Wenn f injektiv ist muss gelten:

Für alle [mm]d(a_1),d(a_2) \in X[/mm] mit [mm]f(d(a_1))=f(d(a_2))[/mm] ist [mm]d(a_1)=d(a_2)[/mm]

Wenn g injektiv ist muss gelten:

Für alle [mm]a_1,a_2 \in A [/mm]mit [mm]g(a_1)=g(a_2)[/mm] ist [mm]a_1=a_2[/mm]

Da d bijektiv ist  muss Aufgrund [mm]d(a_1)=d(a_2) [/mm]auch [mm]a_1=a_2[/mm] sein.Daraus folgt die Behauptung.

2.

Es seien [mm] (x_1,x_2,x_3) [/mm] und [mm] (y_1,y_2,y_3) [/mm] Elemente von [mm] U_{\alpha} [/mm] dann muss gelten:

[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha [/mm]

[mm] y_1+y_2+y_3=\alpha [/mm]

Weil [mm] U_{\alpha} [/mm] ein Untervektoraum von K ist muss auch [mm] (x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3)=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3)\in U_{\alpha} [/mm] sein und es muss gelten:

[mm] x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3=\alpha [/mm]

Dies ist jedoch für alle  [mm] \alpha\in [/mm] K ein Wiederspruch für die nicht [mm] 2\alpha=\alpha [/mm] gilt.Also für alle [mm] \alpha\not=0. [/mm]

Es muss aber auch für [mm] a\in [/mm] K und [mm] (x_1,x_2,x_3)\in U_{\alpha} [/mm]  gelten:

[mm] a(x_1,x_2,x_3)=(ax_1,ax_2,ax_3)\in U_{\alpha} [/mm]

Es muss wieder gelten:

[mm] x_1+x_2+x_3=\alpha [/mm]

Also auch:

[mm] ax_1+ax_2+ax_3=\alpha [/mm]

Dies ist für alle [mm] \alpha\in [/mm] K ein Wiederspruch für die nicht [mm] \frac{\alpha}{a}=\alpha [/mm] gilt.Also für alle [mm] \alpha\not=0. [/mm]

Weiters muss für [mm] \alpha=0 [/mm] bewiesen werden dass [mm] U_{\alpha} [/mm] keine leere Menge ist.Dazu ist nur zu zeigen, das [mm] \alpha [/mm] mindestens ein Element enthält.

Sei [mm] (x_1=1,x_2=1,x_3=-2)\in K^3 [/mm] dann erfüllen sie 1+1+(-2)=0



Stimmt es so?

Gruß

Angelika

        
Bezug
Beweis zur Injektivität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 25.02.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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