Beweis zur Stammfunktion F(x) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:20 Sa 29.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Funktion $\ y = f(x) $ sei im offenen Intervall $\ I $ stetig. Dann ist für $\ a \in I$
$\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt} $
eine Stammfunktion von f(x) für $\ x \in I $. Jede andere Stammfunktion von $\ f(x) $ hat die Form
$\ F(x) = F_a(x) + C, $ $\ C \in \IR $ |
Hallo,
die obige Definition wird wie folgt bewiesen:
$\ F_a'(x) = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h} $
$\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} \left( \integral_{a}^{x+h}{f(t) dt - \integral_{a}^{x}{f(t) dt} \right) $
$\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} * \integral_{x}^{x+h}{f(t) dt $
Soweit alles klar. Folgendes versteh ich nur nicht:
$\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} * h * f(\xi), $ $\ \xi \in [x, x+h] $
Wie kommt das zu Stande?
der Rest:
$\ = f(x) $ mit der Randbemerkung $\ f(\xi) \to f(x) $ (wegen der Stetigkeit)
Die Funktionswerte für $ \xi $ gehen mit $\ h \to 0 $ gegen die Funktionswerte von $\ x $, seh ich das richtig?
Würde mich über Hilfe sehr freuen.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 Sa 29.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo ChopSuey!
> Die Funktion [mm]\ y = f(x)[/mm] sei im offenen Intervall [mm]\ I[/mm]
> stetig. Dann ist für [mm]\ a \in I[/mm]
>
> [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> eine Stammfunktion von f(x) für [mm]\ x \in I [/mm]. Jede andere
> Stammfunktion von [mm]\ f(x)[/mm] hat die Form
>
> [mm]\ F(x) = F_a(x) + C,[/mm] [mm]\ C \in \IR[/mm]
> Hallo,
>
> die obige Definition wird wie folgt bewiesen:
Das ist keine Definition!
> [mm]\ F_a'(x) = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{F_a(x+h)-F_a(x)}{h}[/mm]
>
> [mm]\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} \left( \integral_{a}^{x+h}{f(t) dt - \integral_{a}^{x}{f(t) dt} \right)[/mm]
>
> [mm]\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} * \integral_{x}^{x+h}{f(t) dt [/mm]
>
> Soweit alles klar. Folgendes versteh ich nur nicht:
>
> [mm]\ = \limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} * h * f(\xi),[/mm] [mm]\ \xi \in [x, x+h][/mm]
>
> Wie kommt das zu Stande?
Das ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
> der Rest:
>
> [mm]\ = f(x)[/mm] mit der Randbemerkung [mm]\ f(\xi) \to f(x)[/mm] (wegen der
> Stetigkeit)
>
> Die Funktionswerte für [mm]\xi[/mm] gehen mit [mm]\ h \to 0[/mm] gegen die
> Funktionswerte von [mm]\ x [/mm], seh ich das richtig?
Genau.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:22 Sa 29.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Felix,
vielen Dank für die Antwort zu später Stunde noch!
Gruß
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 29.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
eines würde ich noch gerne wissen.
$ \ [mm] F_a(x) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] $
wieso wird hier ausgerechnet $ x$ als die obere Integrationsgrenze gewählt?
Nachdem das Intervall $\ I $ nicht eindeutig durch Intervallgrenzen bestimmt wurde, nehme ich an, dass hier jedes beliebige Element aus $\ I $ als Integrationsgrenze (sowohl oben als auch unten) gewählt werden kann, seh ich das richtig?
$ x $ wurde demnach gewählt, um mittels h-Methode den Differentialquotienten verwenden zu können? Oder hat das noch einen anderen Grund? Es fällt mir gerade schwer, das geometrisch nach zu vollziehen.
Gruß
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Sa 29.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo ChopSuey,
> eines würde ich noch gerne wissen.
>
> [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> wieso wird hier ausgerechnet [mm]x[/mm] als die obere
> Integrationsgrenze gewählt?
ja, irgendwie muss das ganze ja von $x$ abhaengen :) Da macht es Sinn, eine der Integralgrenzen von $x$ abhaengig zu machen, weil ja die Aenderungsrate von $F$ bei $x$ gerade $f(x)$ sein soll.
Zeichne doch mal eine Funktion $f(x)$ auf und stelle dir jetzt vor, du betrachtest die Flaeche zwischen Funktion und $x$-Achse bis zu einem festgegebenen $x$-Wert. Wenn du diesen $x$-Wert leicht veraenderst, siehst du dass sich der Flaecheninhalt in etwa um die $x$-Differenz mal den Funktionswert von $f$ in der Gegend aendert.
Die Flaeche bis zum $x$-Wert $x$ ist aber Grad [mm] $F_a(x) [/mm] = [mm] \int_a^x [/mm] f(t) dt$, und die Aenderung des Flaecheninhalts die Ableitung von der Funktion [mm] $F_a(x)$.
[/mm]
Beim Differenzenquotienten nimmst du den Unterschied zwischen [mm] $F_a(x)$ [/mm] und [mm] $F_a(x [/mm] + h)$ und teilst durch $h$: da der Unterschied zwischen [mm] $F_a(x [/mm] + h)$ und [mm] $F_a(x)$, [/mm] wie oben angedeutet, ungefaehr $f(x) [mm] \cdot [/mm] h$ ist, hat der Differenzenquotient ungefaehr den Wert $f(x)$. Wenn $h$ gegen 0 geht, kommt halt genau $f(x)$ raus.
> Nachdem das Intervall [mm]\ I[/mm] nicht eindeutig durch
> Intervallgrenzen bestimmt wurde, nehme ich an, dass hier
> jedes beliebige Element aus [mm]\ I[/mm] als Integrationsgrenze
> (sowohl oben als auch unten) gewählt werden kann, seh ich
> das richtig?
Ja.
> [mm]x[/mm] wurde demnach gewählt, um mittels h-Methode den
> Differentialquotienten verwenden zu können? Oder hat das
> noch einen anderen Grund? Es fällt mir gerade schwer, das
> geometrisch nach zu vollziehen.
Ich hoffe das oben hilft dir weiter.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Sa 29.08.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
> Hallo ChopSuey,
>
> > eines würde ich noch gerne wissen.
> >
> > [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> >
> > wieso wird hier ausgerechnet [mm]x[/mm] als die obere
> > Integrationsgrenze gewählt?
>
> ja, irgendwie muss das ganze ja von [mm]x[/mm] abhaengen :) Da macht
> es Sinn, eine der Integralgrenzen von [mm]x[/mm] abhaengig zu
> machen, weil ja die Aenderungsrate von [mm]F[/mm] bei [mm]x[/mm] gerade [mm]f(x)[/mm]
> sein soll.
Das versteh ich glaub ich nicht so ganz. Die Änderungsrate von [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] an der Stelle x (x wird in seiner Umgebung verändert) entspricht $\ f(x) $ ? Wie kann ich das verstehen? Die Anmerkung zur Änderungsrate in Bezug auf $\ x $ versteh ich leider nicht.
>
> Zeichne doch mal eine Funktion [mm]f(x)[/mm] auf und stelle dir
> jetzt vor, du betrachtest die Flaeche zwischen Funktion und
> [mm]x[/mm]-Achse bis zu einem festgegebenen [mm]x[/mm]-Wert. Wenn du diesen
> [mm]x[/mm]-Wert leicht veraenderst, siehst du dass sich der
> Flaecheninhalt in etwa um die [mm]x[/mm]-Differenz mal den
> Funktionswert von [mm]f[/mm] in der Gegend aendert.
Das versteh ich wiederrum, klar.
>
> Die Flaeche bis zum [mm]x[/mm]-Wert [mm]x[/mm] ist aber Grad [mm]F_a(x) = \int_a^x f(t) dt[/mm],
> und die Aenderung des Flaecheninhalts die Ableitung von der
> Funktion [mm]F_a(x)[/mm].
Das wirft mich zurueck zur ersten Frage, was die Ableitung von $\ F $ betrifft.
>
> Beim Differenzenquotienten nimmst du den Unterschied
> zwischen [mm]F_a(x)[/mm] und [mm]F_a(x + h)[/mm] und teilst durch [mm]h[/mm]: da der
> Unterschied zwischen [mm]F_a(x + h)[/mm] und [mm]F_a(x)[/mm], wie oben
> angedeutet, ungefaehr [mm]f(x) \cdot h[/mm] ist, hat der
> Differenzenquotient ungefaehr den Wert [mm]f(x)[/mm]. Wenn [mm]h[/mm] gegen 0
> geht, kommt halt genau [mm]f(x)[/mm] raus.
>
> > Nachdem das Intervall [mm]\ I[/mm] nicht eindeutig durch
> > Intervallgrenzen bestimmt wurde, nehme ich an, dass hier
> > jedes beliebige Element aus [mm]\ I[/mm] als Integrationsgrenze
> > (sowohl oben als auch unten) gewählt werden kann, seh ich
> > das richtig?
>
> Ja.
>
> > [mm]x[/mm] wurde demnach gewählt, um mittels h-Methode den
> > Differentialquotienten verwenden zu können? Oder hat das
> > noch einen anderen Grund? Es fällt mir gerade schwer, das
> > geometrisch nach zu vollziehen.
>
> Ich hoffe das oben hilft dir weiter.
Ich glaube fast, dass ich es arithmetisch(algebraisch?) nachvollziehen kann, doch geographisch leider nicht.
Ich verstehe nicht ganz, was eine kleine Änderung an $\ x$ mit der Ableitung von $\ F $ zu tun hat.
Würde mich über Aufklärung freuen :-P
>
> LG Felix
>
Vielen Dank für die Hilfe soweit.
Liebe Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Sa 29.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Felix,
>
> vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.
>
> > Hallo ChopSuey,
> >
> > > eines würde ich noch gerne wissen.
> > >
> > > [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> > >
> > > wieso wird hier ausgerechnet [mm]x[/mm] als die obere
> > > Integrationsgrenze gewählt?
> >
> > ja, irgendwie muss das ganze ja von [mm]x[/mm] abhaengen :) Da macht
> > es Sinn, eine der Integralgrenzen von [mm]x[/mm] abhaengig zu
> > machen, weil ja die Aenderungsrate von [mm]F[/mm] bei [mm]x[/mm] gerade [mm]f(x)[/mm]
> > sein soll.
>
> Das versteh ich glaub ich nicht so ganz. Die Änderungsrate
> von [mm]\ F_a(x) = \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] an der Stelle x
> (x wird in seiner Umgebung verändert) entspricht [mm]\ f(x)[/mm] ?
> Wie kann ich das verstehen? Die Anmerkung zur
> Änderungsrate in Bezug auf [mm]\ x[/mm] versteh ich leider nicht.
>
> >
> > Zeichne doch mal eine Funktion [mm]f(x)[/mm] auf und stelle dir
> > jetzt vor, du betrachtest die Flaeche zwischen Funktion und
> > [mm]x[/mm]-Achse bis zu einem festgegebenen [mm]x[/mm]-Wert. Wenn du diesen
> > [mm]x[/mm]-Wert leicht veraenderst, siehst du dass sich der
> > Flaecheninhalt in etwa um die [mm]x[/mm]-Differenz mal den
> > Funktionswert von [mm]f[/mm] in der Gegend aendert.
>
> Das versteh ich wiederrum, klar.
>
> >
> > Die Flaeche bis zum [mm]x[/mm]-Wert [mm]x[/mm] ist aber Grad [mm]F_a(x) = \int_a^x f(t) dt[/mm],
> > und die Aenderung des Flaecheninhalts die Ableitung von der
> > Funktion [mm]F_a(x)[/mm].
>
> Das wirft mich zurueck zur ersten Frage, was die Ableitung
> von [mm]\ F[/mm] betrifft.
>
> >
> > Beim Differenzenquotienten nimmst du den Unterschied
> > zwischen [mm]F_a(x)[/mm] und [mm]F_a(x + h)[/mm] und teilst durch [mm]h[/mm]: da der
> > Unterschied zwischen [mm]F_a(x + h)[/mm] und [mm]F_a(x)[/mm], wie oben
> > angedeutet, ungefaehr [mm]f(x) \cdot h[/mm] ist, hat der
> > Differenzenquotient ungefaehr den Wert [mm]f(x)[/mm]. Wenn [mm]h[/mm] gegen 0
> > geht, kommt halt genau [mm]f(x)[/mm] raus.
> >
> > > Nachdem das Intervall [mm]\ I[/mm] nicht eindeutig durch
> > > Intervallgrenzen bestimmt wurde, nehme ich an, dass hier
> > > jedes beliebige Element aus [mm]\ I[/mm] als Integrationsgrenze
> > > (sowohl oben als auch unten) gewählt werden kann, seh ich
> > > das richtig?
> >
> > Ja.
> >
> > > [mm]x[/mm] wurde demnach gewählt, um mittels h-Methode den
> > > Differentialquotienten verwenden zu können? Oder hat das
> > > noch einen anderen Grund? Es fällt mir gerade schwer, das
> > > geometrisch nach zu vollziehen.
> >
> > Ich hoffe das oben hilft dir weiter.
>
>
> Ich glaube fast, dass ich es arithmetisch(algebraisch?)
> nachvollziehen kann, doch geographisch leider nicht.
>
> Ich verstehe nicht ganz, was eine kleine Änderung an [mm]\ x[/mm]
> mit der Ableitung von [mm]\ F[/mm] zu tun hat.
>
> Würde mich über Aufklärung freuen :-P
>
>
> >
> > LG Felix
> >
>
> Vielen Dank für die Hilfe soweit.
>
> Liebe Grüße
> ChopSuey
Hallo,
ich weiß nicht, ob es hilft,
aber schau dir mal bei youtube dieses Video zur Integralrechnung an. Ich finde es gut.
http://www.youtube.com/watch?v=NTglVBvlX1c
Gruß Abakus
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung