Beweise < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Minga |
Wie beweise ich mit dem Skalarprodukt und so weiter den Satz des Pythagoras?
Würde mich wahnsinnig über jede Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mo 19.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Minga,
herzlich willkommen im MatheRaum! 
Hast du dir denn bereits Gedanken dazu gemacht, und vielleicht eine Lösungsidee?
Ich fange schon mal an, vielleicht können wir den Beweis ja dann gemeinsam zu Ende führen.
Der Satz des Pythagoras lautet ja:
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem rechten Winkel bei C gilt für die Seitenlängen: [mm] a^2+b^2 = c^2 [/mm].
Dann nehmen wir uns doch mal ein rechtwinkliges Dreieck her, und drücken die Seiten durch Vektoren aus:
[mm] \vec a [/mm]: Vektor der Seite a, zeigt von B nach C.
[mm] \vec b [/mm]: Vektor der Seite b, zeigt von C nach A.
[mm] \vec c [/mm]: Vektor der Seite c, zeigt von A nach B.
Es gilt nun, da bei C ein rechter Winkel ist: [mm] \vec a * \vec b = 0 [/mm]
Dies ist eine Eigenschaft des Skalarprodukts, dass es nämlich bei der Skalar-Multiplikation zweier orthogonaler Vektoren den Wert 0 liefert.
Weiterhin gilt: [mm] \vec c = -\vec b - \vec a [/mm]
Zu zeigen ist nun (und das überlasse ich zunächst dir):
[mm] |\vec a|^2 + |\vec b|^2 = |\vec c|^2 [/mm]
(Die senkrechten (Betrags-) Striche kennst, du, oder? Das ist die Länge eines Vektors. Übrigens gilt -- und das ist hier sehr nützlich:
[mm] |\vec a| = \sqrt{ \vec a * \vec a } [/mm] bzw. [mm] |\vec a|^2 = \vec a * \vec a [/mm]
Kommst du nun weiter? Falls nicht, frage bitte nach, ich gebe dir auch gerne weitere Tipps.
Viel Erfolg,
Marc.
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