Beweise Geometrie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tkd77 |
| Aufgabe | | Sei (E, G) eine Ebene, die die Axiome 1 bis 4 erfüllt. Es seien zwei verschiedene Punkte A, B Element von E gegeben. Ferner sei C nicht Element von E ein Punkt mit der Eigenschaft C nicht Element [AB]. Zeigen Sie, dass alle Punkte der Halbgeraden [mm] [AC\{A} [/mm] auf derselben Seite von [AB] liegen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, vielleicht kann mir jemand bei obiger Aufgabenstellung weiterhelfen. Hierzu noch einige Angaben und mein Ansatz im Folgenden:
Axiom 1: Es gibt mindestens 3 verschiedene Pkte (Punkte), die nicht auf einer Geraden liegen
A2: Durch je 2 verschiedene Pkte geht genau eine Gerade
A3: Auf jeder Gerade liegen mindestens 2 Pkte
A4: Auf jeder Geraden g ist eine Relation < definiert mit folgenden Eigenschaften:
a.) Für alle A Element g gilt nicht A<A
b.) Seien A, B, C, Element g mit A<B, B<C, dann gilt A<C
c.) Für A, B Element g mit A ungleich B, dann gilt A<B oder B<A
c.) Seien A, B Element g, dann gibt es C, D, E Element g mit C<A<D<B<E
Mein Ansatz:
Wir haben ein Dreieck A, B, C
A, C Element von g und B nicht Element von g
Strecke [AB] Schnitt g in Punkt A
Punkt A teilt g in zwei Halbgeraden wobei die Halbgerade [mm] [AC\{A} [/mm] Schnitt [AB] = leer => alle Pkt der Halbgeraden liegen auf derselben Seite von [AB]
Meine Frage: Hat jemand einen anderen Vorschlag? Oder kennt jemand den Beweis? Ich bin mir jedenfalls unsicher, was meinen Ansatz angeht.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Sa 27.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tkd77 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Sei (E, G) eine Ebene, die die Axiome 1 bis 4 erfüllt. Es
> seien zwei verschiedene Punkte A, B Element von E gegeben.
> Ferner sei C nicht Element von E ein Punkt mit der
> Eigenschaft C nicht Element [AB].
Ist das erste "nicht" nur versehentlich da?
Wie habt ihr $[AB]$ definiert?
> Zeigen Sie, dass alle
> Punkte der Halbgeraden [mm][AC\{A}[/mm] auf derselben Seite von [AB]
> liegen.
Überprüfe bitte die Schreibweise der Halbgeraden.
Wie habt ihr eine solche Halbgerade definiert?
Wie habt ihr "auf derselben Seite von [AB] liegen" definiert?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:06 So 28.04.2013 | | Autor: | PS112 |
> Wie habt ihr [mm][AB][/mm] definiert?
[mm][AB][/mm] ist eine Gerade durch die Punkte A und B
> > Zeigen Sie, dass alle
> > Punkte der Halbgeraden [mm][AC\{A}[/mm] auf derselben Seite von [AB]
> > liegen.
> Überprüfe bitte die Schreibweise der Halbgeraden.
[mm] [AC\backslash\{A\}[/mm] so müsste es richtig heissen
> Wie habt ihr eine solche Halbgerade definiert?
Es is eine Strahl der bei Punkt A beginnt diesen jedoch nicht enthältu und durch C geht.
> Wie habt ihr "auf derselben Seite von [AB] liegen"
> definiert?
Alle Punkte liegen auf der Selben seite, wenn die Strecke zwischen zwei belibigen Punkten die Gerade [AB] in keinem Punkt schneidet.
> Viele Grüße
> Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 So 28.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
zwar kann ich mir die Definitionen einer Strecke zwischen zwei Punkten sowie eines Strahls, der bei A beginnt und durch C geht, nur zusammenreimen. Aber ich probiere trotzdem mal, zu antworten.
> Wir haben ein Dreieck A, B, C
Habt ihr schon definiert, was ein Dreieck ist? Im Weiteren verwendest du dies ohnehin nicht.
> A, C Element von g
Was meinst du mit g? Vermutlich meinst du: Sei $g$ die eindeutig bestimmte Gerade durch A und C ($g:=[AC]$). Die lässt sich bilden, weil [mm] $A\not=C$ [/mm] (denn wäre $A=C$, so wäre [mm] $C=A\in[AB$] [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung [mm] $C\notin[AB]$). [/mm]
> und B nicht Element von g
Warum gilt das?
> Strecke [AB] Schnitt g in Punkt A
Warum ist A der einzige Schnittpunkt?
> Punkt A teilt g in zwei Halbgeraden wobei die Halbgerade
> [mm][AC\{A}[/mm] Schnitt [AB] = leer => alle Pkt der Halbgeraden
> liegen auf derselben Seite von [AB]
Die letzte Folgerung ist unklar. Nur weil irgendeine Punktmenge $h$ die Gerade $[AB]$ nicht schneidet, müssen ja noch lange nicht alle Punkte von $h$ auf der gleichen Seite von $[AB]$ liegen.
> Meine Frage: Hat jemand einen anderen Vorschlag? Oder kennt
> jemand den Beweis?
Es ist tatsächlich eine gute Idee zu zeigen, dass $A$ der einzige Schnittpunkt von $[AC]$ und $[AB]$ ist. Nennen wir diese Aussage (*). Nimm dazu an, es gäbe einen Schnittpunkt [mm] $F\not=A$. [/mm] Dann könnte man die Gerade $[AF]$ betrachten. In welcher Beziehung stünde sie jeweils zu $[AC]$ und $[AB]$?
Für den eigentlichen Beweis, dass alle Punkte von [mm] $[AC\setminus\{A\}$ [/mm] auf der gleichen Seite von $[AB]$ liegen, brauchst du die Definition davon: Die Strecke zwischen zwei beliebigen Punkten $D$ und $E$ von [mm] $[AC\setminus\{A\}$ [/mm] soll die Gerade $[AB]$ nicht schneiden.
Seien also $D$ und $E$ zwei Punkte von [mm] $[AC\setminus\{A\}$. [/mm] Zu zeigen ist, dass die Strecke zwischen $D$ und $E$ die Gerade $[AB]$ nicht schneidet.
Angenommen es gibt einen Schnittpunkt $F$ der Strecke zwischen $D$ und $E$ und der Geraden $[AB]$. Wenn du nun zeigen kannst, dass $F$ auf der Geraden $[AC]$ liegt und [mm] $F\not=A$ [/mm] ist, hast du gewonnen: Denn dann wäre $F$ ein Schnittpunkt von $[AC]$ und $[AB]$ mit [mm] $F\not=A$. [/mm] Und die Existenz eines solchen Schnittpunktes ist ja nach obiger Aussage (*) unmöglich, Widerspruch.
Um [mm] $F\in[AC]$ [/mm] zu zeigen, unterscheide die Fälle $D=E$ und [mm] $D\not=E$.
[/mm]
Um [mm] $F\not=A$ [/mm] zu zeigen, zeige $A<F$ oder $A>F$ bezüglich der <-Relation auf $[AC]$. Unterscheide dazu die Fälle $D<E$ und $D=E$ und $E<D$ sowie $A<D,E$ und $D,E<A$ (Warum gilt eines von $A<D,E$ und $D,E<A$?).
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
