Beweise Supremum und Infimum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mo 01.11.2010 | | Autor: | eLi |
| Aufgabe 1 | Sei A [mm] \subseteq \IR; [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm] mit inf A > 0. Zeige, dass [mm] B:=\{ x^{-1} | x \in A \} [/mm] nach oben beschränkt ist und das gilt
sup B = [mm] \bruch{1}{inf A}. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Seien A, B [mm] \subseteq \IR [/mm] nichleere Mengen derart, dass gilt a<b mit [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B. Zeige: sup A [mm] \le [/mm] inf B. Finde ein Beispiel mit sup A = inf B. |
Hallo,
also nachvollziehbar sind beide Aufgaben, ich weiß leider nur nich wie ich das beweisen soll. Zu Aufgabe 1.) könnte man argumentieren: Da x [mm] \in [/mm] A ist, ist inf A das kleinstmögliche x und somit wäre sup B = [mm] \bruch{1}{inf A}. [/mm] Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das reicht. Kann mir da vllt jemand sagen, wie man das Mathematisch korrekt beweisen kann?
Bei der 2.) Aufgabe habe ich überhaupt keine Idee.
Danke schonmal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 02.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei A [mm]\subseteq \IR;[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm] mit inf A > 0.
> Zeige, dass [mm]B:=\{ x^{-1} | x \in A \}[/mm] nach oben beschränkt
> ist und das gilt
> sup B = [mm]\bruch{1}{inf A}.[/mm]
> Seien A, B [mm]\subseteq \IR[/mm]
> nichleere Mengen derart, dass gilt a<b mit [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm]
> B. Zeige: sup A [mm]\le[/mm] inf B. Finde ein Beispiel mit sup A =
> inf B.
> Hallo,
>
> also nachvollziehbar sind beide Aufgaben, ich weiß leider
> nur nich wie ich das beweisen soll. Zu Aufgabe 1.) könnte
> man argumentieren: Da [mm]x \in A[/mm] ist, ist inf A das
> kleinstmögliche x und somit wäre sup B = [mm]\bruch{1}{inf A}.[/mm]
Das ist nicht richtig. Du verwechselst Infimum mit Minimum. Für das Minimum wäre es in der Tat so, wie du schreibst.
Das Infimum ist die größte Zahl z, die die Bedingung
[mm] z\le x [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] A$
erfüllt.
> Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das reicht. Kann
> mir da vllt jemand sagen, wie man das Mathematisch korrekt
> beweisen kann?
Zunächst einmal: [mm] $\inf [/mm] A$ ist eine untere Schranke von A. Kannst du daraus ableiten, dass [mm]\bruch{1}{\inf A}[/mm] eine obere Schranke von B ist?
Das wäre schon die halbe Miete, denn dann musst du nur noch zeigen, dass es sich um die kleinste obere Schranke von B handelt.
>
> Bei der 2.) Aufgabe habe ich überhaupt keine Idee.
Schreibe dir erst einmal die Definition von [mm] $\sup [/mm] A$ und [mm] $\inf [/mm] B$ hin !
Viele Grüße
Rainer
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