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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mo 30.01.2012 | | Autor: | eva1988 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich übe derzeit für eine Matheklausur - unter anderem auch Beweise zur Teilbarkeit. Wie beispielsweise:
a/b und a/c -> a²/bc
a/b -> es gibt ein q1 mit b=q1a
a/c -> es gibt ein q2 mit c=q2a
-> bc= (q1a)(q21)
-> bc= (q1q2)a²
-> bc= qa² mit q= q1q2
-> a²/bc
Leider fehlt es mir an weiterem Übungsmaterial!
Laut der Dozentin gilt Folgendes für die Klausur:
- Beweis mit Quadrat oder hoch 3
- Beweis nur auf Basis der Teilbarkeit
- und von der Form dann etwa so aufgebaut wie der oben genannte, aber vermutlich etwas komplizierter.
Kann mir jemand vielleicht ein paar Aussagen zum Beweisen posten, so dass ich etwas üben kann 
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moin eva,
Es wäre natürlich praktisch zu wissen, was du schon weißt und was noch nicht oder zumindest in welchem fachlichen Kontext die Aufgaben gestellt werden.
Sonst hier mal ein paar Aufgaben.
Im folgenden $a,b [mm] \in \IN, [/mm] a,b > 1$
1) Es gelte $2 [mm] \not [/mm] | a$ und $2 [mm] \not [/mm] | b$.
Was folgt daraus für die Teilbarkeit von $ab$ durch 2?
2) Gilt die Feststellung aus Aufgabe 1) auch für andere natürliche Zahlen?
Finde eine möglichst große Menge von Zahlen, die die Feststellung aus Teil 1 erfüllen. (falls nicht eh schon bekannt)
3) Zeige: teilt eine Primzahl ein Produkt, so muss sie bereits einen der Faktoren teilen.
Gilt diese Aussage auch für beliebige Zahlen?
4) Zeige: ggT(a,b)*kgV(a,b) = ab
(Hinweis: Primfaktorzerlegung von a und b)
5) Zeige: [mm] $(a-1)|(a^2-1)$
[/mm]
6) Gibt es $a [mm] \neq [/mm] b$ so, dass: (a-1)|(ab-1) und (b-1)|(ab-1)?
7) Zeige: Gilt d|a und d|b, so gilt auch d|ggT(a,b)
8) Zeige: Wenn ggT(a,b) = 1, dann gibt es ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $a|(b^k-1)$
[/mm]
Widerlege die Aussage für ggT(a,b)>1
Jenachdem wie weit du bist hast du unter Umständen schon manche der Aufgaben irgendwo gesehen oder aber manche könnten noch zu schwer für dich sein.
Zu 3): Falls du Primzahlen bisher nur von der Primfaktorzerlegung kennst solltest du dir diese Aufgabe merken; vielleicht nicht für die Klausur, aber vielleicht fürs spätere Leben, denn so wird "prim" normalerweise definiert; ohne Wissen über eine Primfaktorzerlegung.
Zu 6): Hier musst du ein wenig knobeln, aber es ist machbar.
Zu 8): Wenn du den euklidischen Algorithmus zur Berechnung des ggT schon kennst solltest du ihn benutzen; wenn nicht findest du vielleicht einen anderen Weg, aber mach dir keine Sorgen wenn nicht, Nr. 8) ist eher was zum knobeln/basteln und nichts, was man in einer Klausur mal eben nebenbei machen könnte (außer man hat bereits die nötigen Werkzeuge).
Wenn du zu einer der Aufgaben Fragen hast, wenn die alle viel zu schwer (oder viel zu leicht^^) sind oder du mehr haben möchtest sag Bescheid.
lg
Schadow
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Hmm, die Aufgaben, die du da genannt hast, haben im Endeffekt alle die selbe Lösung:
Teilt eine Zahl $a$ alle Summanden einer Summe, so teilt $a$ auch die gesamte Summe (klasisch: man kann $a$ ausklammern).
Teilt eine Zahl $a$ einen Faktor, so teilt $a$ das gesamte Produkt (Assoziativität und Kommutativität der Multiplikation).
Wenn du dir diese beiden Tatsachen verinnerlichst, dürften Aufgaben dieser Form kein Problem für dich werden.
Was dann vielleicht noch interessant zu veranschaulichen oder zu beweisen wäre sind folgende Tatsachen:
$a | b$ und $b|c [mm] \Rightarrow [/mm] a|c$
$a|b$ und $b|a [mm] \Rightarrow [/mm] a=b$
Diese beiden sollten anschaulich recht klar und wenn nicht dann doch recht leicht zu beweisen sein, sie sind aber in manchen Beweisen hilfreich, wenn man zB. Gleichheit von $a$ und $b$ zeigen möchte, aber nur Teilbarkeiten gezeigt kriegt.
Möchtest du nun wirklich solche Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ und dort Teilbarkeiten beweisen würde ich dir empfehlen, solche Polynome zufällig zu erzeugen.
Also schreib dir mal nach Lust und Laune etwas hin, zum Beispiel: [mm] $2b^2 [/mm] + 6cb - [mm] 12c^2 [/mm] + 4b - 2$ und überlege dir, was ein $a$ erfüllen muss, um diesen Ausdruck zu teilen; hier wäre etwa schnell ersichtlich, dass 2 ein Teiler ist, aber du kannst dir ja beliebige solche Ausdrücke basteln und sie auch beliebig schwer/einfach gestalten.
Meine Aufgaben aus dem anderen Post gehen doch ein wenig (teils ein wenig sehr) über Aussagen der von dir genannten Form hinaus, also falls du einzelne davon nicht hinkriegst mach dir keinen Kopf. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 01.02.2012 | | Autor: | eva1988 |
Du hast grundsätzlich schon Recht, dass das immer das Gleiche ist. Vielleicht sollte ich anmerken, dass sich die Fragen auf eine Mathedidaktik-VL beziehen und ich eigentlich Germanistik studiere - also keine Ahnung von Mathe habe :-D
Jetzt habe ich aber noch eine Frage zu folgendem Beweis:
a/c und a/b -> a/(b+c)²
-> (b+c)²=(q1a+q2a)²
-> (b+c)²=(a(q1+q2))²
-> (b+c)²=[a(q1+q2) a(q1+q2)]
-> (b+c)²=a[(q1+q2*a(q1+q2)]
-> (b+c)²= a*q
-> a/(b+c)²
Ist der Beweis richtig?? Ich bin mir ein bisschen unsicher bei der 3. Zeile des Beweises. Ich verwende hier einfach das Assoziativgesetz und muss nichts ausklammern ja?!
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Der Beweis stimmt so, außer dass in der 5. Zeile eine Klammer fehlt.
Allerdings klammerst du in der 3. Zeile sehr wohl das $a$ aus, nur eben nicht aus der ganz äußeren Klammer sondern nur aus der inneren.
Du verwendest hier also das Distributivgesetz und nicht das Assoziativgesetz.
lg
Schadow
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