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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei [mm] R_{1} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm] M_{1} [/mm] und [mm] R_{2} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm] M_{2}.
[/mm]
Zeigen oder widerlegen Sie:
a) [mm] R_{1} \cap R_{2} [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm] M_{1} \cap M_{2}
[/mm]
b) [mm] R_{1} \cup R_{2} [/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm] M_{1} \cup M_{2}
[/mm]
c) Falls [mm] M_{1} [/mm] = [mm] M_{2}, [/mm] ist [mm] R_{1} [/mm] \ [mm] R_{2} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] M_{1}. [/mm] |
Hallo. Kann mir jemand helfen? Zumindest ein Ansatz wäre gut. Der Anfang fällt mir nämlich schwer :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Fr 14.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Es sei [mm]R_{1}[/mm] eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]M_{1}[/mm]
> und [mm]R_{2}[/mm] eine Äquivalenzrelation auf der Menge [mm]M_{2}.[/mm]
> Zeigen oder widerlegen Sie:
> a) [mm]R_{1} \cap R_{2}[/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm]M_{1} \cap M_{2}[/mm]
>
> b) [mm]R_{1} \cup R_{2}[/mm] ist eine Äquivalenzrelation auf [mm]M_{1} \cup M_{2}[/mm]
>
> c) Falls [mm]M_{1}[/mm] = [mm]M_{2},[/mm] ist [mm]R_{1}[/mm] \ [mm]R_{2}[/mm] eine
> Äquivalenzrelation auf [mm]M_{1}.[/mm]
> Hallo. Kann mir jemand helfen? Zumindest ein Ansatz wäre
> gut. Der Anfang fällt mir nämlich schwer :(
[mm]R_{1} \subseteq M_{1} \times M_{1} [/mm]
[mm]R_{2} \subseteq M_{2} \times M_{2} [/mm]
So kann man von [mm]R_{1} \cap R_{2}[/mm] und [mm]M_{1} \cap M_{2}[/mm] ausgehen, und prüfen ob
[mm]R_{1} \cap R_{2}[/mm] die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation
(Reflexivität, Symmetrie, Transitivität)
auf [mm]M_{1} \cap M_{2}[/mm] erfüllt.
Dabei greift man auf die Eigenschaften von [mm]R_{1}[/mm] und [mm]R_{2}[/mm] zurück.
Bei b) und c) geht man ebenso vor.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja aber ich weiß doch garnicht, welche Relation R das ist? Wie soll ich dann was zeigen? Kannst du mir das bitte erklären.
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> Ja aber ich weiß doch garnicht, welche Relation R das ist?
> Wie soll ich dann was zeigen? Kannst du mir das bitte
> erklären.
Hallo,
lt. Voraussetzung sind die [mm] R_i [/mm] Relationen auf [mm] M_i [/mm] mit besonderen Eigenschaften: es sind Äquivalenzrelationen.
Vielleicht schreibst Du erstmal auf, was man damit über die [mm] R_i [/mm] weiß.
Es ist [mm] R_1\cap R_2 \subseteq (M_1\cap M_2)\times(M_1\cap M_2),
[/mm]
und Du könntest nun zunächst einmal notieren, was man alles prüfen muß, wenn man wissen will, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 14.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja, ok. Also ich muss prüfen, ob diese Relation refl., symm. und trans. ist, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das hier anwenden soll. Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Sa 15.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ja, ok. Also ich muss prüfen, ob diese Relation refl.,
> symm. und trans. ist, aber ich habe keine Ahnung, wie ich
> das hier anwenden soll. Kann mir da jemand helfen?
Also $x [mm] \in M_1 \cap M_2$ [/mm] bedeutet $x [mm] \in M_1 \wedge [/mm] x [mm] \in M_2$, [/mm]
und
$(x,y) [mm] \in R_1 \cap R_2$ [/mm] bedeutet $(x,y) [mm] \in R_1 \wedge [/mm] (x,y) [mm] \in R_2$.
[/mm]
Damit solltest Du genügend Information über $(x,y) [mm] \in R_1 \cap R_2$ [/mm] haben,
um zu prüfen, ob [mm] $R_1 \cap R_2$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $M_1 \cap M_2$ [/mm] ist.
Über [mm] $R_1$ [/mm] weisst Du, dass es eine Äquivalenzrelation auf [mm] $M_1$ [/mm] und
[mm] $R_2$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $M_2$ [/mm] ist.
Gruß
meili
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Boah ist das kompliziert xD Sry aber die Aufgabe fällt mir wirklich schwer.
Kann mir jemand einen Anfang geben oder sagen wie man an den herankommt?
Die Bedingungen bringen mich nicht weiter. Was bringt mir das, dass
> Über $ [mm] R_1 [/mm] $ weisst Du, dass es eine Äquivalenzrelation auf $ [mm] M_1 [/mm] $ und
> $ [mm] R_2 [/mm] $ eine Äquivalenzrelation auf $ [mm] M_2 [/mm] $ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..ich kenne nur diese Defintion.
Wenn R1 eine ÄR auf M1 ist, dann gilt doch:
R1 reflexiv, symm., trans. und für zwei Elemente x und y [mm] \in [/mm] M
[x] = [y]
Sollte man so anfangen?
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> Hmm..ich kenne nur diese Defintion.
>
> Wenn R1 eine ÄR auf M1 ist, dann gilt doch:
>
> R1 reflexiv, symm., trans.
Hallo,
ja.
> und für zwei Elemente x und y
> [mm]\in[/mm] M
>
> [x] = [y]
???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab jetzt mal lange überlegt xD
Ich wähle die Aussage, dass der Vereinigung zweier ÄR wieder eine ÄR ist.
Das stimmt i.A. aber doch nicht, da ich ein Gegenbeispiel geben kann. Ist der Ansatz also ok?
Beim Durchschnitt:
Kann ich das in etwa so machen? (nur salopp formuliert)
refl. (x,x) [mm] \in [/mm] R1, (x,x) in R2 , also (x,x) [mm] \in [/mm] R1 [mm] \cap [/mm] R2
symm. (x,y) [mm] \in [/mm] R1 [mm] \cap [/mm] R2
Also: (x,y) [mm] \in [/mm] R1 und (x,y) [mm] \in [/mm] R2
Also (wegen R1 und R2 ÄR): (y,x) [mm] \in [/mm] R1 und (y,x) [mm] \in [/mm] R2
Also: (y,x) [mm] \in [/mm] R1 [mm] \cap [/mm] R1
Ist der Weg so schonmal gut?
EDIT: Beim trans. muss man doch die Kommutativitär und Ass. der logischen Operatoren ausnutzen oder? dann weiß ich, wies geht.
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> Hab jetzt mal lange überlegt xD
Gute Idee...
>
> Ich wähle die Aussage, dass der Vereinigung zweier ÄR
> wieder eine ÄR ist.
>
> Das stimmt i.A. aber doch nicht, da ich ein Gegenbeispiel
> geben kann. Ist der Ansatz also ok?
Hallo,
wenn Du ein Gegenbeispiel hast, ist die Aussage widerlegt.
>
> Beim Durchschnitt:
>
> Kann ich das in etwa so machen? (nur salopp formuliert)
>
> refl. (x,x) [mm]\in[/mm] R1, (x,x) in R2 , also (x,x) [mm]\in[/mm] R1 [mm]\cap[/mm]
> R2
>
> symm. (x,y) [mm]\in[/mm] R1 [mm]\cap[/mm] R2
>
> Also: (x,y) [mm]\in[/mm] R1 und (x,y) [mm]\in[/mm] R2
>
> Also (wegen R1 und R2 ÄR): (y,x) [mm]\in[/mm] R1 und (y,x) [mm]\in[/mm] R2
>
> Also: (y,x) [mm]\in[/mm] R1 [mm]\cap[/mm] R1
>
> Ist der Weg so schonmal gut?
Ja.
>
> EDIT: Beim trans. muss man doch die Kommutativitär und
> Ass. der logischen Operatoren ausnutzen oder? dann weiß
> ich, wies geht.
>
Schön.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Super. :)
Kannst du mir denn vllt bei der c) helfen. Da komme ich irgendwie nicht weiter. Ein Ansatz wäre gut.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
die Aussage c) ist falsch, es reicht also ein Gegenbespiel:
Sei [mm] $M_1=M_2=\{0,1\}$. [/mm] Dann ist eine Relation auf [mm] $M_1$ [/mm] eine Teilmenge $R [mm] \subset M_1 \times M_1$. [/mm] Betrachte die Relationen:
[mm] $R_2=\{(0,0), (1,1)\}$ [/mm] und [mm] $R_1=\{(0,0),\:(1,0),\:(0,1),\:(1,1)\}
[/mm]
Es handelt sich jeweils um Äquivalenzrelationen, das zu zeigen überlasse ich dir, ist ja wirklich einfach.
Die Relation [mm] $R_1 \backslash R_2 [/mm] = [mm] \{(1,0),\:(0,1)\}$ [/mm] ist jedoch keine Äquivalenzrelation, auch das zu zeigen ist einfach.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Sa 15.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr. Kann ich sagen, dass das wegen fehlender Refl. keine Äquivalenzr. ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Sa 15.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke sehr. Kann ich sagen, dass das wegen fehlender Refl.
> keine Äquivalenzr. ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, genau.
Gruß
meili
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