Beweise von Mengenaussagen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an Alle,
kann mir jemand bei folgendem Problem helfen?
Beweise oder widerlege durch ein Gegenbeispiel, dass die folgende Aussage jeweils für beliebige Mengen M,N gilt:
M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M = N
Ich habe folgenden Lösungsansatz:
x [mm] \in [/mm] M [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] N = x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M = N
Vielen Dank im Voraus für Eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Felix
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Hallo Felix,
> M [mm]\cup[/mm] N = M [mm]\cap[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] M = N
>
> Ich habe folgenden Lösungsansatz:
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> x [mm]\in[/mm] M [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] N = x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] N [mm]\Rightarrow[/mm] M
> = N
>
Leider ist das was du hier machst kein Beweis, sondern nur eine Umformulierung des Problems bzw. eine Wiedergabe des Problems in anderen Worten.
Betrachten wir zunächst die Aussage $M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N$ genauer.
Es gilt, egal wie M oder N auch gewählt sein mögen immer:
$M [mm] \cap [/mm] N [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \cup [/mm] N$, denn jedes Element, das in M und N enthalten ist, ist auch in N oder M enthalten.
Nun muss aber auch jedes Element, das in M oder N enthalten ist auch in M und N enthalten sein, da sonst die Gleichheit nicht gelten würde:
Gäbe es nun ein Element $m [mm] \in [/mm] M$, das nicht in N enthalten wäre (und dieses existiert nur dann wenn [mm] M\not=N [/mm] ist), so wäre m ausschließlich in $M [mm] \cup [/mm] N$ aber nicht in $M [mm] \cap [/mm] N$ enthalten. Die gegebene Aussage wäre also nicht erfüllt.
Daher muss M=N gelten.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 So 11.09.2005 | | Autor: | Felix_rot |
Hallo Samuel,
so schnell habe ich ja gar nicht mit einer Antwort gerechnet.
VIELEN DANK!!!!
Ich werde mir Deine ausführliche Darlegung erst verinnerlichen müssen. Ist noch etaws schwierig und ungewohnt für mich.
Lieben Gruß
Felix
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