Beweisen der Matrize < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie , dass H = I4 - 2*v*v' fuer einen beliebigen Vektor v aus [mm] R^4 [/mm] symmetrisch ist. |
guten tag,
I(4) ist eine Einheitsmatrix
H = I(4) - 2*v*v' =
H*H^-1 - 2*v*v'
= H* H^-1 - 2*v'*(v')'
= H*H^-1 - 2*H'
aber wie komme ich jetzt auf H'
(H transponiert)
symmetrisch gilt wenn H = H' gilt
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Hallo Lisa,
> Zeigen Sie , dass H = I4 - 2*v*v' fuer einen beliebigen
> Vektor v aus [mm]R^4[/mm] symmetrisch ist.
>
> guten tag,
>
> I(4) ist eine Einheitsmatrix
>
> H = I(4) - 2*v*v' =
> H*H^-1 - 2*v*v'
> = H* H^-1 - 2*v'*(v')'
> = H*H^-1 - 2*H'
>
> aber wie komme ich jetzt auf H'
> (H transponiert)
> symmetrisch gilt wenn H = H' gilt
Das kannst du doch schnell zu Fuß ausrechnen.
Nimm dir einen Vektor [mm]v=\vektor{v_1\\
v_2\\
v_3\\
v_4}[/mm] her und berechne
[mm]\pmat{1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1}-2\cdot{}\underbrace{\vektor{v_1\\
v_2\\
v_3\\
v_4}\cdot{}(v_1 \ v_2 \ v_3 \ v_4)}_{\in \operatorname{Mat}(4\times 4,\IR)}[/mm]
Wenn du dir das mal hinschreibst, siehst du, dass die entstehende Matrix hochgradig symmetrisch ist 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
vielen Dank aber ich sollte den Beweis zu Ende fuehren ohne ein Beispiel zu verwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> vielen Dank aber ich sollte den Beweis zu Ende fuehren ohne
> ein Beispiel zu verwenden.
Wer hat wo ein Beispiel verwendet ???
Du kannst es auch so machen: $(v*v')'= v''*v'= v*v'$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
ist mein Beweis oben total falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ist mein Beweis oben total falsch?
Na ja, Du verwendest [mm] H^{-1}. [/mm] Woher hast Du denn, dass H invertierbar ist ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
ich setze die Einheitsmatrix als H*H^-1 das kann ich machen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ich setze die Einheitsmatrix als H*H^-1 das kann ich machen
Nein, das kannst Du nicht machen. Das kannst Du nur machen, wenn H invertierbar ist.
FRED
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Hallo nochmal,
nebenbei eine Bitte:
Die Einzahl von Matrizen lautet NICHT eine Matrize, sondern eine Matrix.
Das tut beim Lesen echt weh ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
vielen Dank vielleicht wissen Sie wo der Fehler im Beweis liegen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mo 11.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es ist schon gesagt worden, dass H nicht zwingend invertierbar ist, also ist der Schritt [mm] I=H*H^{-1} [/mm] zu setzen nicht zulässig.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
H = I(4) - 2*v*v'
= I(4) - 2v'*(v')'
= H'
ob dies stimmen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> H = I(4) - 2*v*v'
> = I(4) - 2v'*(v')'
> = H'
>
> ob dies stimmen kann?
Nein , es stimmt nicht. $v*v'$ ist eine 4x4-Matrix, aber $v'*v$ ist eine 1x1-Matrix !!
Allerliebste Lisa,
warum, ja warum, setzt Du das nicht um, was man Dir schon empfohlen hat ?
Schachuzipus hat Dir einen wunderbaren Weg gezeigt. Ebenso habe ich Dir mit dem Hinweis
$ [mm] (v\cdot{}v')'= v''\cdot{}v'= v\cdot{}v' [/mm] $
fast die komplette Lösung geliefert !
Ich bitte um Aufklärung.
Herzlichst FRED
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Hallo,
ergänzend zu den nur allzu wahren Worten von Fred.
Schaue dir dringendst die Regeln zum Transponieren an.
Was ist [mm](A+B)'[/mm] ?
Was [mm](A\cdot{}B)'[/mm] ?
Was [mm](c\cdot{}A)'[/mm] ?
wobei [mm]A,B[/mm] Matrizen passenden Formats seien und [mm]c[/mm] ein Skalar ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 11.10.2010 | | Autor: | lisa11 |
ja jetzt habe ich es gemerkt die regeln waren alle falsch es sollte sein:
H = I(4) -2v*v'
= I' - (2v')'*v'
= (I - 2vv')'
= H'
ich hoffe es ist besser
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Hallo nochmal,
> ja jetzt habe ich es gemerkt die regeln waren alle falsch
> es sollte sein:
>
> H = I(4) -2v*v'
> = I' - (2v')'*v'
> = (I - 2vv')'
> = H'
>
> ich hoffe es ist besser
Ja, nun ist es richtig, obwohl es von der formalen Struktur etwas "misslich" ist.
Ich würde mit H' anfangen und zeigen, dass wieder H rauskommt, in deiner Schreibweise ist es etwas umständlicher nachzuvollziehen.
Außerdem würde ich noch den ein oder anderen Zwischenschritt bzw. die ein oder andere Begründung dranschreiben
Also etwa so:
Mit [mm]H=I-2v\vdot{}v'[/mm] ist
[mm]H'=(I-2vv')'[/mm]
[mm]=I'-(2vv')'[/mm] wegen ...
[mm]=I-2(vv')'[/mm] wegen ...
[mm]=I-2(v')'v'[/mm] wegen ...
[mm]=I-2vv'[/mm] wegen ...
[mm]=H[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Mo 11.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> nebenbei eine Bitte:
>
> Die Einzahl von Matrizen lautet NICHT eine Matrize, sondern
> eine Matrix.
>
> Das tut beim Lesen echt weh ...
Nicht nur Dir....
Zur Ergänzung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Matrize
FRED
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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