Beweisen von Ungleichungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Meine Aufgabenstellung lautet:
Seien a,b,c,d Elemente eines angeordneten Körpers. Beweisen sie die Ungleichungen:
(a) [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} \ge [/mm] 2ab
Ich hab mir gedacht, dass ich das so umforme:
[mm] (a-b)^{2} \ge [/mm] 0
Und das ist ja eine wahre Aussage.
Ist das jetzt schon die Lösung? Oder muss ich wegen dem abgeschlossenem Körper noch was bedenken?
Danke für die Hilfe!
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(Ein "abgeschlossener Körper" - was ist das?)
Du solltest anders herum argumentieren:
Wegen [mm](a-b)^2 \geq 0[/mm] folgt die zu beweisende Ungleichung (und nicht umgekehrt!).
Und das war es auch schon - in der Tat! Natürlich vorausgesetzt, ihr habt schon gezeigt, daß Quadrate in einem angeordneten Körper niemals negativ sind, und daß man mit Ungleichungen wie von dir ausgeführt rechnen darf.
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Ups. Meinte natürlich nicht "abgeschlossen" sondern "angeordnet".
Jetzt komm ich aber bei der nächsten Aufgabe schon nicht weiter:
(b) [mm] a^{2} [/mm] + [mm] b^{2} [/mm] + [mm] c^{2} \ge [/mm] ab +bc +ca
Da bekomm ich noch nicht mal nen Ansatz hin. Hab überlegt, ob ich faktorisieren könnte. Geht aber nicht glaub ich.
Hat jemand einen Tip?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Do 03.11.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Nach Aufgabenteil a gilt ja: [mm] a^2+b^2 \ge [/mm] 2ab ; [mm] b^2+c^2 \ge [/mm] 2bc ; [mm] c^2+a^2 \ge [/mm] 2ca
Wenn du diese 3 Gleichungen addierst, erhälst du: [mm] 2a^2+2b^2+2c^2\ge [/mm] 2ab+2bc+2ca [mm] \gdw a^2+b^2+c^2 \ge [/mm] ab+bc+ca
Und damit bist du schon fertig.
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