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| Aufgabe | Seien f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung und f2 : P(A) [mm] \to [/mm] P(B) , f3: P(B) [mm] \to [/mm] P(A)
die von f induzierten Abbildungen gegeben durch f2(A´) = f(A´)
für A´ [mm] \subseteq [/mm] A bzw. f3(B´) = [mm] f^{-1} [/mm] (B´) für B´ [mm] \subseteq [/mm] B
Zeige :
1.
Äquivalent sind (a) f ist unjektiv , (b) f2 ist injektiv , (c) f3 ist surjektiv
2.Äquivalent sind (a) f ist surjektiv , (b) f2 ist surjektiv , (c) f3 ist injektiv
3.Ist f bijektiv, so sind f2 und f3 zueinander inverse Abbildungen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Brauche dringend Hilfe, wäre über eine Lösung sehr sehr dankbar.
Da ich auch nach mehrmaligem drüber schauen, die Antwort nicht kenne.
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> Seien f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung und f2 : P(A) [mm]\to[/mm] P(B) ,
> f3: P(B) [mm]\to[/mm] P(A)
> die von f induzierten Abbildungen gegeben durch f2(A´) =
> f(A´)
> für A´ [mm]\subseteq[/mm] A bzw. f3(B´) = [mm]f^{-1}[/mm] (B´) für B´
> [mm]\subseteq[/mm] B
>
> Zeige :
> 1.
> Äquivalent sind (a) f ist unjektiv , (b) f2 ist injektiv ,
> (c) f3 ist surjektiv
> 2.Äquivalent sind (a) f ist surjektiv , (b) f2 ist
> surjektiv , (c) f3 ist injektiv
> 3.Ist f bijektiv, so sind f2 und f3 zueinander inverse
> Abbildungen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Brauche dringend Hilfe, wäre über eine Lösung sehr sehr
> dankbar.
Hallo,
na, dann wollen wir mal schauen, ob wir Dich in die Lage versetzten können, daß Du es lösen kannst.
> Da ich auch nach mehrmaligem drüber schauen, die Antwort
> nicht kenne.
"Drüberschauen" reicht bei sowas i.d.R. nicht...
Beachte bitte, daß wie von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Ein Lösungsansatz wäre auch, wenn Du etwas genauer sagen würdest, was Du nicht verstehst.
(By the way: wie bist Du eigentlich mit den anderen beiden Aufgabn klargekommen? Es gab da gar keine Rückmeldung mehr.)
Wir werden jetzt als erstes die Aufgabenstellung besprechen:
gegeben hast Du eine Funktion f: [mm] A\to [/mm] B.
Mithilfe dieser werden nun zwei neue Funktionen [mm] f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] definiert.
[mm] f_2:P(A)\to [/mm] P(B) ist eine Funktion mit Definitionsbereich P(A) und Zielmenge P(B).
P(A) ist die Potenzmenge von A, also die Menge, die sämtliche Teilmengen von A enthält, P(B) entsprechend.
[mm] f_2 [/mm] ist also eine Funktion, die auf Mengen angewendet wird, und das ist man aus der Schule nicht gewohnt.
Ebenso sind die Funktionswerte Mengen, nämlich Teilmengen von B.
Jetzt müssen wir uns ansehen, wie die Abbildungsvorschrift für [mm] f_2 [/mm] lautet:
[mm] f_2(A'):=f(A') [/mm] für alle A' [mm] \in [/mm] P(A), dh. für alle Teilmengen A' von A.
Der Menge A' wird also vermöge [mm] f_2 [/mm] die Menge f(A') zugeordnet, das Bild der menge A' unter der Abbildung f.
An dieser Stelle wäre es wichtig, daß Dir klar ist oder Du Dir klarmachst, wie f(A') definiert ist.
Analog kannst Du herausfinden, was es mit der Abbildung [mm] f_3 [/mm] auf sich hat, hier ist der Begriff des Urbildes wichtig.
Zur Lösung der Aufgabe essentiell sind auch die Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv, von denen ich zunächst annehme, daß sie Dir klar sind. (ggf nachschlagen)
In 1. zu zeigen ist die Äquivalenz von (a) f ist injektiv , (b) [mm] f_2 [/mm] ist injektiv , (c) [mm] f_3 [/mm] ist surjektiv
Du könntest das auf mehrere Weisen zeigen, entweder alle 6 Äquivalenzen,
oder in einem Ringschluß (a) ==> (b) ==> (c) ==> (a),
oder (a) <==>(b), (a) <==> (c)
oder noch anders.
Im Prinzip ist's egal, sofern gesichert ist, daß am Ende wirklich die Äquivalenz aller Aussagen gezeigt ist.
Mal angenommen, Du willst (a) ==> (b) zeigen.
Voraussetzung: f ist injektiv
zu zeigen. [mm] f_2 [/mm] ist injektiv, dh. für alle Teilmengen [mm] A_1, A_2 \A [/mm] gilt: [mm] f_2(A_1)=f_2(A_2) [/mm] ==> [mm] A_1=A_2.
[/mm]
Beweis: Seien [mm] A_1, A_2 \subseteq [/mm] A mit [mm] f_2(A_1)=f_2(A_2) [/mm]
==> Def. von [mm] f_2 [/mm] anwenden und dann weiter. Jetzt bist Du dran.
Gruß v. Angela
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