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| Aufgabe | Man zeige, dass fur jede natürliche Zahl n:
4 teilt nicht [mm] n^{2} [/mm] + 2 |
Hallo Leute,
Welche Methoden gibs generell für eine Beweißführung?
Mein Ansatz: Vollständige Induktion
A soll die Annahme von oben sein
Für A{1} = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] Induktionsanfang stimmt also
A{n+1} = [mm] \bruch{(n+1)^2+2}{4}
[/mm]
A{n+1} = [mm] (\bruch{(n+1)}{2})^2+\bruch{1}{2}
[/mm]
Quasi wird eine quadierte Zahl mit 0,5 addiert ist niemals aus der Menge der Natürlichen Zahlen, somit ist gezeigt dass die A{n} richtig ist?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man zeige, dass fur jede natürliche Zahl n:
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> 4 teilt nicht [mm]n^{2}[/mm] + 2
> Hallo Leute,
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> Welche Methoden gibs generell für eine Beweißführung?
"Beweiß" ??? Richtig : Beweis
> Mein Ansatz: Vollständige Induktion
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> A soll die Annahme von oben sein
>
> Für A{1} = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] Induktionsanfang stimmt also
>
> A{n+1} = [mm]\bruch{(n+1)^2+2}{4}[/mm]
> A{n+1} = [mm](\bruch{(n+1)}{2})^2+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Quasi wird eine quadierte Zahl mit 0,5 addiert ist niemals
> aus der Menge der Natürlichen Zahlen, somit ist gezeigt
> dass die A{n} richtig ist?
Nein. Dein "Beweiß" ist kein Beweis.
Tipp: es geht ohne Induktion:
Fall 1: n ist gerade, also von der Form n =2k mit k [mm] \in \IN. [/mm] Nun berechne [mm] \bruch{n^2+2}{4}. [/mm] Dann müßtest Du schnell sehen, dass dies keine natürliche Zahl ist.
Fall 2: n ist ungerade, also von der Form n =2k-1 mit k [mm] \in \IN. [/mm] Verfahre wie in Fall 1.
FRED
>
> Grüße Daniel
>
>
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Okay.
Könntest du mir netter Weise zeigen, wie eine normale "vollständige Induktion" anhand des Bsp. geführt wird? Man hat es mir nämlich noch nie gezeigt. Würde ich gerne mal sehn, warum meine Induktion falsch sei ,)
So Fall 1(gerade Zahl):
[mm] \bruch{{(2k)}^2+2}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{2k^2+1}{2} [/mm] <-- Hier sieht man schon dass der Zähler immer ungerade wird
falls man weiter umformt erkennt man den absoluten unnatürlichen Anteil von 0,5
[mm] k^2+\bruch{1}{2}
[/mm]
Beim Fall 2 für ungerade Zahlen:
[mm] \bruch{{(2k-1)}^2+2}{4}
[/mm]
[mm] k^2-0,5k+0,75
[/mm]
Hier erkennt man es auch, dass die 0,75 die Division mit 4 "verhindert"!
Ist das nun besser?
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Do 17.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay.
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> Könntest du mir netter Weise zeigen, wie eine normale
> "vollständige Induktion" anhand des Bsp. geführt wird?
> Man hat es mir nämlich noch nie gezeigt. Würde ich gerne
> mal sehn, warum meine Induktion falsch sei ,)
>
> So Fall 1(gerade Zahl):
>
> [mm]\bruch{{(2k)}^2+2}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2k^2+1}{2}[/mm] <-- Hier sieht man schon dass der
> Zähler immer ungerade wird
>
> falls man weiter umformt erkennt man den absoluten
> unnatürlichen Anteil von 0,5
>
> [mm]k^2+\bruch{1}{2}[/mm]
Prima
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> Beim Fall 2 für ungerade Zahlen:
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> [mm]\bruch{{(2k-1)}^2+2}{4}[/mm]
>
> [mm]k^2-0,5k+0,75[/mm]
Das ist falsch ! Richtig: [mm]k^2-k+0,75[/mm]
>
> Hier erkennt man es auch, dass die 0,75 die Division mit 4
> "verhindert"!
>
> Ist das nun besser?
Ja
FRED
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> Daniel
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