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| Aufgabe | | Beweisen Sie die Bruchrechenregeln mittels der Körperaxiome der reellen Zahlen. |
Hallo und guten Abend zusammen.
Während meiner Beweisführung fiel mir auf dass ich eine weitere Folgerung zeigen muss - nämlich:
Seien x,y [mm] \in \IR [/mm] und [mm] x\not=0, y\not=0.
[/mm]
Dann gilt: [mm] (xy)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}
[/mm]
Da hab ich mir doch mal was gebastelt und würde gern mal wissen ob ich das so zeigen kann:
Nach der Folgerung [mm] a^{-1}*a=1 [/mm] für [mm] a\in\IR [/mm] mit [mm] a\not=0, [/mm] welche bereits bewiesen wurde, gilt:
[mm] (x*y)^{-1}*(x*y)=1
[/mm]
[mm] =1\cdot1
[/mm]
[mm] =(x^{-1}*x)*(y^{-1}*y)
[/mm]
[mm] =x^{-1}*x*(y^{-1}*y)
[/mm]
[mm] =x^{-1}*(x*(y^{-1}*y))
[/mm]
[mm] =x^{-1}*((x*y^{-1})*y)
[/mm]
[mm] =x^{-1}*((y^{-1}*x)*y)
[/mm]
[mm] =x^{-1}*y^{-1}*(x*y)
[/mm]
[mm] =(x^{-1}*y^{-1})*(x*y)
[/mm]
[mm] \gdw (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1} [/mm] q.e.d.
Reicht das aus? Danke für Eure Zeit.
LG, Endo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie die Bruchrechenregeln mittels der
> Körperaxiome der reellen Zahlen.
> Hallo und guten Abend zusammen.
>
> Während meiner Beweisführung fiel mir auf dass ich eine
> weitere Folgerung zeigen muss - nämlich:
> Seien x,y [mm]\in \IR[/mm] und [mm]x\not=0, y\not=0.[/mm]
> Dann gilt:
> [mm](xy)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}[/mm]
>
> Da hab ich mir doch mal was gebastelt und würde gern mal
> wissen ob ich das so zeigen kann:
>
> Nach der Folgerung [mm]a^{-1}*a=1[/mm] für [mm]a\in\IR[/mm] mit [mm]a\not=0,[/mm]
> welche bereits bewiesen wurde, gilt:
> [mm](x*y)^{-1}*(x*y)=1[/mm]
> [mm]=1\cdot1[/mm]
> [mm]=(x^{-1}*x)*(y^{-1}*y)[/mm]
> [mm]\red{=x^{-1}*x*(y^{-1}*y)}[/mm]
wenn Du schon mit Klammern arbeitest (die man sich wegen Distributivität
eigentlich sparen kann):
Wie ist denn der letzte - rotmarkierte - Ausdruck gemeint? (Natürlich ist er
richtig... aber jetzt sparst Du an einer Stelle Klammern und an anderer nicht,
das wirkt auf jeden Fall komisch...)
Den kannst Du eigentlich weglassen, denn mit Distributität kommst Du von
dem Ausdruck davor auch direkt zu dem Folgenden:
> [mm]=x^{-1}*(x*(y^{-1}*y))[/mm]
> [mm]=x^{-1}*((x*y^{-1})*y)[/mm]
> [mm]=x^{-1}*((y^{-1}*x)*y)[/mm]
> [mm]\red{=x^{-1}*y^{-1}*(x*y)}[/mm]
S.o.!
Anstatt des rotmarkierten Ausdrucks kannst Du (mit Distributivgesetz)
schreiben
[mm] $x^{-1}*((y^{-1}*x)*y)$
[/mm]
[mm] $=x^{-1}*(y^{-1}*\underbrace{(x*y)}_{=:a})$
[/mm]
> [mm]=(x^{-1}*y^{-1})*(x*y)[/mm]
(weil [mm] $x^{-1}*(y^{-1}*a)=(x^{-1}*y^{-1})*a\,$ [/mm] wegen Distributivität)
> [mm]\gdw (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}[/mm] q.e.d.
Joa, aber viel zu umständlich. Ihr habt doch sicher schon bewiesen, dass
in Gruppen $(G, [mm] \circ)$ [/mm] gilt
$(a [mm] \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}\,.$
[/mm]
Das macht man, indem man zuerst beweist, dass Inverse eindeutig sind
und dann etwa
[mm] $(b^{-1} \circ a^{-1})\circ [/mm] (a [mm] \circ b)=e_G$
[/mm]
nachrechnet. (Warum reicht das? Generell sind Gruppen ja nicht notwendig
kommutativ...)
Dann gilt für $x,y [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] natürlich
[mm] $(x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1}\,,$
[/mm]
weil [mm] $(\IR \setminus \{0\}, \cdot)$ [/mm] eine Gruppe ist (neutrales Element [mm] $e_{\IR \setminus \{0\}}=1_{\IR}=1\,.$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\cdot$ [/mm] aber kommutativ, und damit hast Du dann das Ganze so
auch schon in einer, oder je nach Schreibstil, zwei Zeilen komplett gelöst.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Endorphin |
Hallo Marcel.
Die Klammerung konnte ich leider nicht wegfallen lassen, da wir jeden einzelnen Schritt mit einem der 9 Körperaxiome belegen sollten (das hatte ich mir in meinem Beitrag hier gespart).
Aber du hast auch recht
> ... [mm]=x^{-1}*(x*(y^{-1}*y))[/mm]
> [mm]=x^{-1}*((x*y^{-1})*y)[/mm]
> [mm]=x^{-1}*((y^{-1}*x)*y)[/mm]
> [mm]=x^{-1}*(y^{-1}*(x*y))[/mm]
> [mm]=(x^{-1}*y^{-1})*(x*y)[/mm]
> [mm]\gdw (x*y)^{-1}=x^{-1}*y^{-1}[/mm] q.e.d.
sieht besser aus. Da hab ich wohl geschludert.
> Joa, aber viel zu umständlich. Ihr habt doch sicher schon
> bewiesen, dass
> in Gruppen [mm](G, \circ)[/mm] gilt
Nein, haben wir leider noch nicht bewiesen. Noch nicht einmal die Eindeutigkeit des neutralen oder inversen Elements.
Zitat: "Das hier ist ein Appetitanreger - die Lücken müssen sie selbst nacharbeiten."
Und das ist auch verständlich bei dem Pensum.
> $ (a [mm] \circ b)^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}\,. [/mm] $
>
> Das macht man, indem man zuerst beweist, dass Inverse
> eindeutig sind und dann etwa
>
> $ [mm] (b^{-1} \circ a^{-1})\circ [/mm] (a [mm] \circ b)=e_G [/mm] $
>
> nachrechnet.
Danke für deine Hilfe soweit, wollte nur wissen ob ich da nen Bock geschossen hab oder das Papier abgeben kann.
Werd mir mal weitere Folgerungen zur Brust nehmen.
LG, Endo
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