Beweisführung Diagonalen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Schönen guten Tag,
Ich hoffe auf diesem Weg mein mathematisches Problem zu lösen.
Im Zuge von Übungsaufgaben für eine Mathematik LK Klausur bin ich auf folgende Gegebenheit gestoßen. Wenn der Flächeninhalt eines Rechtecks durch Extremwertprobleme maximal werden soll so wird die Diagonale des Rechtecks minimal.
Meine Frage:
Gibt es ein Gesetz was besagt: Flächeninhalt eines Rechtecks maximal = Diagonale minimal ???
Ich habe mich dann mal an die Beweisführung gemacht und habe mir gedacht das sich eine Flächenoptimierung eines Rechtecks unter einer Normalparabel dafür eignet .Also habe ich die Seite a des Rechtecks A= a*b mit 2u beschrieben und die Seite b mit f(u) da ich mir die Punkte p1(u/0) p2 (u/f(u)) p3(-u/f(u)) und p4(-u/0) genommen habe um das Rechteck unter der Parabel zu beschreiben .Weiterhin würde ja nach Phythagoras [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] gelten .Daraus folgt dann für die Seite a des Rechtecks 2u und die Seite b des Rechtecks f(u).Das ergibt [mm] (2u)^2 [/mm] + [mm] (f(u))^2 [/mm] = [mm] c^2 [/mm] Das ganze liegt unter einer Normal Parabel der Form f(x)=
[mm] -ax^2 [/mm] + bx + c und da der Scheitel der Parabel genau auf der y Achse liegt f(x)= [mm] -ax^2 [/mm] + c. Nun müsste ich mit der Produktregel aus den aufstellen Formeln die erste Ableitung herstellen diese gleich null setzen und somit auf Extrema untersuchen .Da komme ich aber leider nicht weiter da ich mit der Produktregel leicht überfordert bin. Weiterhin frage ich mich wie ich es dann schaffe das gesuchte Verhältnis zwischen maximalen Flächeninhalt und minimaler diagonale herzustellen.
Ich wäre froh wenn ihr mir weiter helfen könnt denn ich komme gerade absolut nicht weiter. Vielen Dank
MFG
dE_maddin
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=231653#231653
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?p=387382#post387382
http://www.infmath.de/thread.php?threadid=3846
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Mi 05.10.2005 | | Autor: | statler |
...Christiane, um 12:20 noch nicht ganz wach, ich faß es nicht!
Gruß aus HH-Harburg (heute wieder sonnig)
Dieter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Mi 05.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo und Mahlzeit!
Wenn du mal den Viertelkreis im 1. Quadranten nimmst und ein Rechteck einbeschreibst (2 Seiten auf den Achsen, 4. Eckpunkt auf dem Kreisbogen), dann bleibt ja die Diagonale konstant und die Fläche ist beim Quadrat maximal.
Stell dir vor, du "beulst" diesen Kreis bei der Winkelhalbierenden ein bißchen aus und läßt die Punkte auf den Achsen fest, dann müßte man das so hinkriegen können, daß die Fläche dort ein Maximum hat, wo die Diagonale am längsten ist, oder?
Ist mein Gedanke a) verständlich und b) OK?
Gruß und Mittaaaach
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Mi 05.10.2005 | | Autor: | dE_maddin |
Ja dein Beweisweg ist schon verständlich aber ich möchte ja beweisen das wenn der flächeninhalt maximal wird die diagonale minimal und nicht maximal wie du in deinem Artikel geschrieben hast.Außerdem kann ich deinen gedankengang mit dem ausbeulen nicht ganz nachvollziehen.
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Mi 05.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo,
nimm statt des Viertelkreises einfach ein Quadrat. Dann ist das einbeschriebene Rechteck am größten, wenn es gleich dem Quadrat ist, und dann ist die Diagonale des Rechtecks offensichtlich maximal. Dann ist das, was du beweisen möchtest, zwangsläufig in der Allgemeinheit falsch, also brauchst du da nicht weiter nachzudenken.
So war das gemeint.
MfG
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 05.10.2005 | | Autor: | dE_maddin |
Das versteh ich nicht ganz .Ich versteh schon das das Quadrat zwangsläufig das Rechteck mit dem größten flcöheninhalt ist.
Ein Beispiel:
Umfang = 25 cm
max Flächeninhalt bei a=6,25 und b= 6,25
A=a*b 6,25*6,25 =39,0625 [mm] cm^2
[/mm]
Diagonale : [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2
[/mm]
[mm] 6,25^2 [/mm] + 6,25 ^2 = 78,125
sqrt(78,125) = 8,839 = Diagonale
Ich glaube diese Diagonale ist die kürzeste die man bei vorgebener Seitenlänge erhalten kann ddenn wenn ich wirkürlich andere Seitenlängen nehmen ist die Diagonale immer länger
z.B a = 7,5 b= 5
sqrt(81,25) = 9,01 und darau folgt 9,01 > 8,839
Also versteh ich dich Aussage nicht ganz das bei einen Quadrat die Diagonale maximal anstatt minimal ist .
Wenn ich einen Fehler gemacht habe tut es mir LÖeid aber ich habe die Aussage nicht ganz verstanden.
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mi 05.10.2005 | | Autor: | statler |
Hi,
vielleicht habe ich die Aufgabenstellung nicht vollständig verstanden. Du gehst als Nebenbedingung von einem konstanten Umfang der betrachteten Rechtecke aus? Dann sieht das anders aus, und mein Beispiel paßt nicht, und du hast recht.
Um bei meinem Bild zu bleiben: Wenn der Umfang = 2u ist, liegen die 4. Eckpunkte der untersuchten Rechtecke auf der Geraden x + y = u, und man sieht mit bloßem Auge, daß das Quadrat die kürzeste Diagonale hat. Kann man auch sehen, daß es die größte Fläche hat, oder muß man dafür rechnen, hmm?
Liebe Grüße und sorry
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 05.10.2005 | | Autor: | dE_maddin |
Ja ich weis das man sehen kann aber mein Problem ist das mein Mathe Leher mich angesport hat über die Ferien einen hübschen mathemaischen Beweis mit Allgemeiner Formel und Ableitungen mit Hilfe der Produktregel aufzustellen und er meinte es ist zwar sehr schwer aber wenn ich das schaffen würde könnte er diese Arbeit als Facharbeit werten und mir so eine Klausur ersparen deshalb möchte ich gerne einen ausführlichen Beweis für diesen Zusammenhang aufstellen da reicht es leider nicht wenn man das einfach ''sieht''
MFG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mi 05.10.2005 | | Autor: | statler |
Hi,
ich bin jetzt 40 Stunden offline, wenn das Freitag noch nicht klar ist, mache ich weiter. Kein Grund zur Aufregung!
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 05.10.2005 | | Autor: | dE_maddin |
Das is kein Problem ich hab Zeit muss die ganze Sache ja bis Ferien End sprich den 16.10.05 gelöst haben ist also noch zeit keinen Panik dann können wir in Ruhe weiter sehehn ob wir das nicht irgendwie auf die Reihe bekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Fr 07.10.2005 | | Autor: | statler |
Hallo und guten Tag!
Ich schlage dir folgende Vorgehensweise vor:
- zuerst eine genaue Formulierung der Aufgabenstellung
- dann Umsetzung in mathematische Sprache wie schon angedeutet, Koordinatensystem mit Gerade x + y = u, die zu untersuchenden Rechtecke entsprechend einpassen
- dann mit Diff.-Rechnung Rechteck mit größter Fläche bestimmen
- dann mit Diff.-Rechnung Rechteck mit kürzester Diagonale bestimmen
(Bei diesen beiden Punkten kannst du dich mit der Kettenregel austoben.)
1. möglicher Zusatz:
- dann vielleicht noch Rechteck mit größter Fläche geometrisch über den Höhensatz bestimmen
- dann Rechteck mit kürzester Diagonale geometrisch bestimmen
"Geometrisch" heißt hier mit Zirkel und Lineal.
2. möglicher Zusatz:
- zum krönenden Abschluß Herleitung der folgenden Formel
[mm] d^{2} [/mm] + 2F = [mm] u^{2}
[/mm]
wenn d die Länge der Diagonale, F die Fläche und u der halbe Umfang ist
Wie kann man mit dieser Gleichung deine Aufgabe lösen?
Ein genereller Hinweis: Dein Lehrer freut sich bestimmt auch über die Beachtung der Rechtschreib- und Interpunktionsregeln.
Und jetzt mach ma hin!
Gruß aus dem nebligen HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Fr 07.10.2005 | | Autor: | dE_maddin |
Wow das ist ein harter Brocken. Ich bin am Wocheende nicht zu Hause aber wenn ich Montag wieder komme mache ich mich direkt mal an die Beweisführung.Glaubst du wenn das ganze fertig ist, das es für eine Facharbeit im Mathe Lk Stufe 12 Gymnasium reicht?
Also vielen Dank erst mal Bei Problemen werde ich mich melden.
MFG
dE_maddin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:08 Fr 07.10.2005 | | Autor: | statler |
...für einen LKer ist das eierleicht! Formulier deine Vorschläge am besten als Fragen, damit ich (und andere) sie finden. Oder mach überhaupt einen neuen Strang auf. Wenn du das alles ordentlich machst mit Bildchen und Begründungen, reicht es hoffentlich für eine Facharbeit, aber ich bin kein Pauker.
Und sonst ein schönes Wochenende!
Dieter
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