Beweisidee < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Mo 27.04.2009 | | Autor: | ecko |
Hallo, hat jemand von euch einen Ansatz, wie ich zeigen könnte das für alle geraden n>1 gilt:
[mm] \vektor{t \\ \bruch{t}{2}} [/mm] < [mm] 2^t
[/mm]
Hab schon probiert das mal auszuschreiben und etwas umzu formen, aber sehr weit komme ich da nicht. Ihr sollt mir das hier nicht unbedingt Lösen, aber ein kleiner Ansatz wäre nett, da ich nicht weiter komme.
MfG Stephan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 27.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde es per induktion machen. Da es ein gerades t sein soll, gibt es ein n mit t=2n
Also:
[mm] \vektor{t\\\bruch{t}{2}}<2^t
[/mm]
[mm] \gdw \vektor{2n\\n}<2^{2n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(2n)!}{n!(2n-n)!}<2^{2n}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{(2n)!}{(n!)²}<2^{2n}
[/mm]
Und das ganze würde ich versuchen, per Induktion zu zeigen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Di 28.04.2009 | | Autor: | ecko |
Hallo, also den Ansatz hatte ich auch so, nur versteh ich nicht sorecht wie das mit induktion klappen soll, da muss ich ja für ein n und ein n+1 zeigen das die formel stimmt, aber das muss ich ja so nur für ein n. Induktion kann glaub ich nicht sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Di 28.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Doch, das ist eine typische Induktion.
1. fuer n=1 hinschreiben,
dann fuer n hinschreiben, und daraus auf n+1 schliessen, wenn du die Formel mit 2n, n statt t, t/2 schriebst. also aus
Ind. Vors: [mm] \vektor{2n \\ n}\le 2^{2n} [/mm] musst du folgern:
[mm] \vektor{2n+2 \\ n+1}\le 2^{2n+2}
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:15 Di 28.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Der Beweis muss per Induktion geführt werden.
Induktionsanfang: $n=1$
[mm] $\frac{(2\cdot 1)!}{(1!)^2}=2<4=2^{2\cdot 1}$
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
[mm] $\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}=\frac{(2n+2)!}{(n!(n+1))^2}=\underbrace{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}_{\overset{IV}{<}2^{2n}}\cdot\underbrace{\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}}_{<4}<2^{2n}\cdot 2^2=2^{2(n+1)}$
[/mm]
Gruß
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Die Zahlen, um die es hier geht, sind die Zahlen
auf der Symmetrieachse des Pascalschen Dreiecks.
Wie man leicht zeigen kann, ist die Summe aller
Zahlen in der t-ten Zeile gleich [mm] 2^t.
[/mm]
Daraus ergibt sich sofort die gewünschte Ungleichung.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Di 28.04.2009 | | Autor: | ecko |
Danke für eure Hilfe, hab es jetzte verstanden!
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