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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Das Thema zu definieren ist hier etwas schwierig, es geht wieder um eine Aufgabe aus der Signalverarbeitung, allerdings kommt es mir hier erstmal darauf an, zu verstehen, warum ich das so zeige, die Lösung ansonsten verstehe ich wohl.
zu zeigen war, dass [mm] C_h [/mm] unendlich viele von 0 verschiedene Filterkoeffizienten hat, wobei [mm] $C_h[x](n)=\sum_{k=0}^N [/mm] h(k)x(n-k)$, also die diskrete Faltung, sein soll, wenn ich das richtig verstehe. Filterkoeffizienten sind wohl die h(k), und der Filter hier ist ein Tiefpass, so dass gilt: [mm] $h(n)=2\omega_0 sinc(2\omega_0 [/mm] n)$. Es läuft also wohl darauf hinaus, zu zeigen, dass [mm] $sinc(2\omega_0 [/mm] n)$ unendlich viele von 0 verschiedene Koeffizienten hat, wobei definiert ist:
[mm] sinc(n)=\begin{cases}1&\mbox{ für }n=0\\0&\mbox{für } n\in\IZ\backslash \{0\}\end{cases} [/mm] (also nur auf den ganzen Zahlen definiert.
Nun haben wir als Lösung dazu aufgeschrieben:
es gilt: $sinc(n)=0 [mm] \gdw n\in\IZ\backslash\{0\}$
[/mm]
Sei nun [mm] \omega_0\in[0,\frac{1}{2})
[/mm]
Annahme: [mm] $\exists N\in\IN\;\forall n>N\; sinc(2\omega_0 [/mm] n)=0 [mm] \gdw \forall [/mm] n>N: [mm] 2\omega_0 n\in\IZ\backslash\{0\}$
[/mm]
das verstehe ich schon nicht, denn gilt diese Äquivalenz nicht offensichtlich nach Definition von sinc???
[mm] \omega_0\in\IR\backslash\IQ [/mm] Widerspruch erzeugt, da es keine ganze Zahl geben kann, deren Produkt mit einer irrationalen Zahl wieder in [mm] \IZ [/mm] liegt.
Sei [mm] \omega_0 [/mm] rational
[mm] \Rightarrow [/mm] d.h. [mm] \exists k\in\IZ, \exists l\in\IN, \omega_0=\frac{k}{l} [/mm] und ggT(k,l)=1
das ist klar 
da unter der Annahme gilt: [mm] $\forall n>N:\;2\frac{k}{l}n\in\IZ$
[/mm]
[mm] $\gdw \forall [/mm] n>N: l|2kn$
[mm] $\gdw \forall [/mm] n>N: l|2n$ da $ggT(k,l)=1$
das ist auch klar
Sei l ungerade: Widerspruch über:
Wähle für $n$ die kleinste Primzahl [mm] N_0 [/mm] mit [mm] N_0>N [/mm] und [mm] $N_0\not= [/mm] l$
das ist auch klar, dann kann l nicht Teiler von 2n sein
Sei l gerade: [mm] $\Rightarrow \exists l'\in\IN: l'=\frac{1}{2}l$
[/mm]
also [mm] $\forall [/mm] n>N: l|2n$
[mm] $\gdw \forall [/mm] n>N: l'|n$
Weiterhin gilt: [mm] $l'\not= [/mm] 1$, da [mm] $\omega_0\in[0,\frac{1}{2})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] l'>1$
Widerspruch über:
wähle für $n$ die kleinste Primzahl [mm] N_0 [/mm] mit [mm] $N_0>N$ [/mm] und [mm] $N_0\not= [/mm] l$
Was aber soll das Ganze? Also ich verstehe ja schon die Annahme nicht so ganz, und wieso ist das Ganze jetzt am Ende gezeigt? Was genau ist denn eigentlich gezeigt? Kann mir da jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
die sinc funktion ist nicht nur für ganze Zahlen definiert, sondern auch für alle anderen.
Deine ist [mm] sinc(x)=sin(\pi*x)/\pi*x [/mm] für xne0 für x=0 sinc(x)=1
da raus folgt die eigenschaft für [mm] x\in \IZ [/mm] die du angibst.
Wenn die Annahme richtig wäre httest du nur endlich viele Koeffizienten. Also ist die Annahme eine, die du zum Widerspruch führen willst, das wird gemacht.da du für alle [mm] \omega_0 [/mm] aus dem Intervall widersprüche herleiten kannst ist die Annahme falsifiziert. daraus folgt, es gibt kein N ab dem die Koeffizienten alle 0 sind, also gibts unendlich viele q.e.d.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
Danke. Ich hatte schon befürchtet, dass sich niemand die Aufgabe überhaupt durchliest. Aber ich verstehe das immer noch nicht.
> Wenn die Annahme richtig wäre httest du nur endlich viele
Du meinst die Annahme, wo "Annahme" vorsteht, oder? Ich bin ja immer noch der Meinung, dass diese richtig ist. Und durch die Annahmen, ob [mm] \omega_0 [/mm] irrational oder rational und l gerade oder ungerade ist, zeigen wir meiner Meinung nach nur, dass die rechte Seite der Äquivalenz nie erfüllt ist. Aber das würde die Äquivalenz ja nicht widerlegen!?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
Du wisst doch beweisen, dass es unendlich viele [mm] h(k)=sinc(\omega_0*k) [/mm] gibt.
d.h. dass nicht ab irgendeinem N für alle k gälte [mm] sinc(\omega_0*k)=0 [/mm] (denn dann gäbs ja nur endlich viele.
jetzt wird gezeigt: [mm] \omega_0=reell=r [/mm] folgt [mm] sinc(\omega_0*k)=sin(r*\pi*k)/(r*\pi*k)\ne0 [/mm] für alle k denn sinx ist nur 0 für [mm] x=k*\pi.
[/mm]
dasselbe für rationale Zahlen [mm] \omega_0=p/q [/mm] da gibt es zwar immer wieder mal ein k das durch q teilbar ist, sodass das dazugehörige sinc(p/q*k)=0 aber eben nur vereinzelte.
Warum der Beweis indirekt aufgezogen ist weiss ich nicht. Manche Leute tendieren dazu vieles, das man direkt beweisen kann, indirekt zu beweisen.(schlechte Angewohnheit) dies ist ein Beispiel dafür.
Die Annahme ist also für alle [mm] \omega_0\not\in\IZ [/mm] falsch.
Dass du sie für richtig hielst liegt glaub ich daran, dass du dir wegen der Def von sinc, die da nur für ganze Zahlen steht sinc falsch vorgestellt hast.
Nochmal: es gibt 2 Def von sinc(x)
[mm] a)sinc(x)=\bruch{sinx}{x} [/mm] für [mm] x\ne0 [/mm] ; =1 für x=0
[mm] b)sinc_N [/mm] was ihr offensichtlich einfach sinc nennt [mm] :sinc_N(x)=sinc(\pi*x)
[/mm]
daraus folgt dann die Folgerung für [mm] sinc_N(n) [/mm] die bei dir steht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
Sorry, aber ich verstehe das immer noch nicht...
Wir wollen doch zeigen, dass es kein N gibt, so dass für alle n>N gilt: [mm] $sinc(2\omega_0 [/mm] n)=0$. Nun gilt: [mm] $sinc(2\omega_0 n)=\frac{\sin(2\pi\omega_0 n)}{2\pi\omega_0 n}$ [/mm] für [mm] n\not=0. [/mm] Der Nenner darf nicht =0 werden, also müssen wir doch nur zeigen, dass [mm] $\sin(2\pi\omega_0 [/mm] n)$ nicht für alle diese n zu null wird!? Und da der Sinus nur für ganzzahlige Vielfache von [mm] \pi [/mm] zu null wird, müssen wir nur zeigen, dass [mm] $2\omega_0 [/mm] n$ nicht ganzzahlig wird!? Aber das ist doch genau die Annahme!???
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 26.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Annahme ist: es gibt ein N ab dem alle [mm] sincn\omega_0 [/mm] 0 sind.
(dann gibts nur endlich viele Koeffizienten.)
alles folgende dient zur Widerlegung dieser Annahme.
Ungeschickterweise ist die Aussage, dass die Annahme äquivalent mit [mm] n\omega_0\in \IZ/O [/mm] direkt dahinter.
Dabei ist das der eigentliche Schritt zum "Widerspruchsbeweis"
danach kommen mit den 2 fällen r, p/q nur noch Trivialitäten!
Ich glaub inzwischen, dass du den Beweis eigentlich schon kapiert hast, und dass euer Prof den sehr ungeschickt formuliert hat. (oder wars ein Tutor?)
Der richtige einfachere Beweis ist direkt:
1. [mm] sinc(n*\omega_0)=0 [/mm] nur für [mm] n\omega_0\in \IZ. [/mm] (beweis aus Def von sinc.
2. wenn [mm] \omega_0\not\in \IZ [/mm] gibt es immer unendlich viele n, für die [mm] n\\omega_0\not\in\IZ [/mm] . das wird für reelle und rationale [mm] \omega_0 [/mm] gezeigt.
Dass der Beweis pseudo-indirekt ist verwirrt dich.
Man kann jeden noch so einfachen Beweis indirekt formulieren.
1.Angenommen der Satz ist falsch
2. ich geb einen Beweis des Satzes.
3. dann hab ich einen Widerspruch zur Annahme.
dabei kann man natürlich 1. und 3. weglassen.
Hilft die Diskussion jetzt?
(jeder Mathematiker würde den Beweis, so wie er dir vorgetragen wurde "hässlich" und unästhetisch finden)
Gruss leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
> Die Annahme ist: es gibt ein N ab dem alle [mm]sincn\omega_0[/mm] 0
> sind.
Ach so. Und ich dachte immer, dass die Annahme die Äquivalenz von dem und dem, was da noch stand, ist. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> Ich glaub inzwischen, dass du den Beweis eigentlich schon
> kapiert hast, und dass euer Prof den sehr ungeschickt
> formuliert hat. (oder wars ein Tutor?)
Es war eine Aufgabe auf einem Übungszettel und die Lösung hat ein Tutor angeschrieben. Es kann allerdings auch sein, dass ich das nur so doof abgeschrieben habe, vllt hatte er das Äquivalenzzeichen und das folgende auch in die nächste Zeile geschrieben, nur ich hab's direkt dahinter geschrieben. Naja, ist jetzt auch egal...
> 1. [mm]sinc(n*\omega_0)=0[/mm] nur für [mm]n\omega_0\in \IZ.[/mm] (beweis
> aus Def von sinc.
Das heißt: diese Aussage gilt immer, oder? Und genau darauf beruht der Beweis, dass wir das rechte widerlegen und damit auch das linke widerlegt haben - also für alle n>N und so weiter...
Danke, ich glaub', jetzt ist es mir klar.
Viele Grüße
Bastiane
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