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| Aufgabe | | Ist m ein element aus N und ungerade, so ist [mm] m^2 [/mm] - 1 durch 8 teilbar |
Kann mir jemand ein Ansatz geben wie ich da vorgehen soll? m gerade ist ja die Form 2k. Das wäre dann [mm] (2k)^2 [/mm] - 1. Wie mache ich weiter. Ich könnte noch die Formel aufstellen [mm] (2k)^2 [/mm] - 1 = 8k aber das bringt mir jetzt irgendwie gar nichts.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ist m ein element aus N und ungerade, so ist [mm]m^2[/mm] - 1 durch
> 8 teilbar
> Kann mir jemand ein Ansatz geben wie ich da vorgehen soll?
> m gerade ist ja die Form 2k. Das wäre dann [mm](2k)^2[/mm] - 1. Wie
> mache ich weiter. Ich könnte noch die Formel aufstellen
> [mm](2k)^2[/mm] - 1 = 8k aber das bringt mir jetzt irgendwie gar
> nichts.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nee, das bringt nichts, weil diese Fomel erstens was über gerade Zahlen erzählen würde (wegen 2k) und zweitens berichten würde, daß [mm] (2*\red{5})^2-1=8*\red{5} [/mm] ist..
Aber Du bist dicht dran.
Behauptung:
Für alle [mm] n\in \IN [/mm] gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit [mm] (2n-1)^2 [/mm] - 1= 8k.
[2n-1 steht für die ungeraden Zahlen, und 8k für ein Vielfaches von 8].
Nun kannst Du ja mal Deine Induktion starten.
Gruß v. Angela
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Oh ja stimmt ich hatte mich verschrieben. Meinte das was du aufgeschrieben hast. Äm ok ich könnte jetzt die Induktion machen, aber geht das nicht auf einfacher, also ohne Induktion?
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> Oh ja stimmt ich hatte mich verschrieben. Meinte das was du
> aufgeschrieben hast. Äm ok ich könnte jetzt die Induktion
> machen, aber geht das nicht auf einfacher,
Hallo,
noch einfacher? Induktion ist doch einfach.
Aber Du kannst auch modulo 8 rechnen, indem Du Dir überlegst, daß
man jede ungerade Zahl u schreiben kann als u=8l + r mit [mm] r\in \{1,3,5,7\}.
[/mm]
Nun [mm] u^2-1 [/mm] berechnen und gucken, welchen Rest (mod 8) man erhält.
Das ist auch eine nette Möglichkeit. Und ohne Induktion.
Gruß v. Angela
also ohne
> Induktion?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mo 02.11.2009 | | Autor: | weduwe |
ohne induktion:
[mm] m=2n-1\to (2n-1)^2-1=4n(n-1)
[/mm]
von 2 aufeinanderfolgenden zahlen ist eine immer gerade qued.
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Hallo,
du kannst natürlich auch erstmal [mm] \(m\) [/mm] durch [mm] \(n\) \in \IN [/mm] ausdrücken. Eine ungerade Zahl ist [mm] \(2n+1\).
[/mm]
Dein Term wird zu [mm](2n+1)^2-1=4n^2+4n [/mm]. Da klammerst du die 4 und anschließend noch [mm] \(n\) [/mm] aus:
[mm] 4(n(n+1)) [/mm]
Man sieht, dass diese Zahl durch 4 teilbar ist. Da in dem restlichen Produkt mindestens ein Faktor gerade ist, ist dieses Produkt auch noch durch 2 teilbar und somit der ganze Term durch 8 teilbar.
Ist zwar nicht so schön mathematisch aufgeschrieben, aber zumindest eine andere Möglichkeit.
Viele Grüße,
pi-roland.
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