Beweisproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:54 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Lorence |
Guten Abend,
Es geht um folgendes Buch: Roger B. Nelson, an introduction to Copulas, S. 80, aber das nur am Rande:
Theorem 3.2.6
[mm] \alpha,\beta [/mm] seien Funktionen von I=[0,1] nach R, mit [mm] \alpha(0)=\alpha(1)=\beta(0)=\beta(1)=0. [/mm] C sei eine Funktion der Gestalt: [mm] C(u,v)=u*v+u*(1-u)*[\alpha(v)*(1-u)+\beta(v)*u], [/mm] dann ist C eine Copula genau dann wenn:
[mm] [(1-u_{1})^2+(1-u_{2})^2+u_{1}*u_{2}-1]*\bruch{\alpha(v_{2})-\alpha(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}-[u_{1}^2+u_{2}^2)+(1-u_{1})*(1-u_{2})-1]*\bruch{\beta(v_{2})-\beta(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}\ge-1
[/mm]
für [mm] u_{1}
der Beweis dieses Theorems habe ich verstanden, jetzt kommt der Teil den ich nicht verstehe:
Lemma 3.2.7 Seien [mm] \alpha,\beta [/mm] und C wie oben, dann ist C eine Copula genau dann wenn:
1. [mm] \alpha(v),\beta(v) [/mm] sind absolut stetig
2. [mm] 1+\alpha'(v)*(1-4u+3u^2)+\beta'(v)*(2u-3u^2)\ge0
[/mm]
Also im gesamten muss ich jetzt folgendes Zeigen:
[mm] [(1-u_{1})^2+(1-u_{2})^2+u_{1}*u_{2}-1]*\bruch{\alpha(v_{2})-\alpha(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}-[u_{1}^2+u_{2}^2)+(1-u_{1})*(1-u_{2})-1]*\bruch{\beta(v_{2})-\beta(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}\ge-1
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
1. [mm] \alpha(v),\beta(v) [/mm] sind absolut stetig
2. [mm] 1+\alpha'(v)*(1-4u+3u^2)+\beta'(v)*(2u-3u^2)\ge0
[/mm]
Zum Beweis:
[mm] \Rightarrow [/mm] aus [mm] [(1-u_{1})^2+(1-u_{2})^2+u_{1}*u_{2}-1]*\bruch{\alpha(v_{2})-\alpha(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}-[u_{1}^2+u_{2}^2)+(1-u_{1})*(1-u_{2})-1]*\bruch{\beta(v_{2})-\beta(v_{1})}{v_{2}-v_{1}}\ge-1
[/mm]
folgt ja recht schnell für u1=u2=u und [mm] \limes_{v_{2}\rightarrow\v_{1}}
[/mm]
aber die Rückrichtung bereitet mir große Kopfschmerzen, ich brauche den Mittelwertsatz und wie man von u wieder auf [mm] u_{1},u_{2} [/mm] kommt.
Es handelt sich um ein rein analytisches Problem, es wird keine Stochastik benötigt (vermute ich).
Hat jemand eine Idee?
Danke im Vorraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Lorence |
Hat keiner eine Idee? Es handelt sich lediglich um die Anwendung des Mittelwertsatzes!
Gruß Lorence
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 17.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
