Beziehung zwischen Det. < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 So 30.10.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=\pmat{ B & C \\ 0 & D} [/mm] eine [mm] n\times{n} [/mm] Matrix, wobei B eine [mm] k\times{k} [/mm] Matrix ist, D eine [mm] (n-k)\times(n-k)-Matrix [/mm] und 0 ausschließlich Nullen enthält. Zeige: detA=(detB)(detD) |
Mit der Leibnizformel kann man dieses Beispiel bestimmt lösen, ich würde jedoch gerne wissen ob es nicht einen eleganteren und schnelleren Weg gibt, ohne Induktion.
|
|
| |
|
Also einen kompletten Beweis würde ich schon mittels Induktion machen.
Aber wenn du es unbedingt ohne willst würde ich dir Gauß empfehlen.
Wie würdest du denn die Determinante mit Gauß berechnen?
Nimm dir diese Matrix und argumentiere, dass nach Gauß genau das Produkt der beiden Determinanten rauskommt.
Aber du musst da sehr gut formulieren, damit es einen wirklich ordentlichen Beweis gibt und nix ungenau ist; mit einer Induktion würdest du meiner Meinung nach sicherer fahren.
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:23 Mo 31.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich habe mich jetzt dazu entschlossen es mit Induktion zu machen, ist vielleicht doch der eleganteste Weg.
Induktionsanfang: n=2
[mm] A=2\times2 [/mm] Matrix, [mm] B=1\times1 [/mm] Matrix => [mm] D=1\times1 [/mm] Matrix
detB=B, detD=D
detA=BD-0*C=BD=(detB)*(detD) Also für n=2 stimmt es, für n=1 natürlich auch.
Induktionsbehauptung:
Für [mm] A=(n+1)\times(n+1), B=k\times{k} [/mm] Matrix und [mm] D=(n+1-k)\times(n+1-k) [/mm] gilt detA=(detB)(detD)
Jetzt hänge ich gerade ein wenig, vielleicht könnt ihr mir da weiterhelfen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 31.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei [mm]A=\pmat{ B & C \\ 0 & D}[/mm] eine [mm]n\times{n}[/mm] Matrix, wobei
> B eine [mm]k\times{k}[/mm] Matrix ist, D eine
> [mm](n-k)\times(n-k)-Matrix[/mm] und 0 ausschließlich Nullen
> enthält. Zeige: detA=(detB)(detD)
>
> Mit der Leibnizformel kann man dieses Beispiel bestimmt
> lösen, ich würde jedoch gerne wissen ob es nicht einen
> eleganteren und schnelleren Weg gibt, ohne Induktion.
ich wuerde mal behaupten: der Weg ueber die Leibnizformel ist sehr elegant 
Im Prinzip nutzt du da aus, dass alles was nicht im Bild von [mm] $S_k \times S_{n-k} \to S_n$ [/mm] liegt in der Leibnizformel einen Summanden gibt der 0 ist.
Falls ihr die Determinante ueber Eigenschaften definiert habt (multilinear, normiert, alternierend) kannst du auch wie folgt vorgehen: zeige, dass die Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : B [mm] \mapsto \det \pmat{ B & C \\ 0 & D }$ [/mm] multilinear und alternierend ist. Daraus folgt, dass es ein [mm] $\lambda \in [/mm] K$ gibt mit [mm] $\varphi [/mm] = [mm] \lambda \det$. [/mm] Setzt du jetzt $B = [mm] E_k$ [/mm] ein, so steht da [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \varphi(E_k)$. [/mm] Du musst jetzt nur noch verifizieren, dass [mm] $\det \pmat{ E_k & C \\ 0 & D }$ [/mm] gerade gleich [mm] $\det [/mm] D$ ist. Das geht uebrigens wieder gut ueber die Leibnizformel, da man sofort sieht das [mm] $\pi \in S_n$ [/mm] nur dann zu einem Summanden [mm] $\neq [/mm] 0$ fuehrt falls [mm] $\pi(j) [/mm] = j$ ist fuer alle $j [mm] \le [/mm] k$.
Aber es ist wohl einfacher, das gleich direkt mit der Leibnizformel zu machen.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 11:05 Mo 31.10.2011 | | Autor: | kalifat |
Mit der Leibnizformel habe ich es auch schon probiert, komme da jedoch irgendwie nicht weiter;
Wir haben sie folgendermaßen definiert: [mm] detA=det(a_1,...,a_n)=\summe_{\pi\in{S_n}}sgn\pi*a_{\pi_1 1}***a_{\pi_n n}
[/mm]
detB und detD natürlich ganz analog, außer das [mm] \pi\in{S_k} [/mm] bei B und [mm] \pi\in{S_{n-k}} [/mm] bei D
Ich muss auch noch berücksichtigen das in der Summe nur solche Permutationen [mm] \pi [/mm] auftreten, für die [mm] \pi({1,2,...,k})={1,2,...,k} [/mm] und daher [mm] \pi({k+1,...,n})={k+1,...,n} [/mm] gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
