Beziehung zwischen a und b / < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe die Funktion f(x)= [mm] ae^x [/mm] + be^-x , soll diese Funktion ableiten und soweit ich das verstanden habe anhand einer Kurvendiskussion die Beziehung zwischen a und b ermittelt. Hinweis ist das xe =1 ein Minimum ist.
Die 2. Aufgabe besteht aus 2 Funtionsgleichungen f(x)= [mm] be^x [/mm] ; [mm] g(x)=e^{a-x}
[/mm]
Hier wird eine Funktionsgleichung gesucht.
Hinweise: 1) bei x = 1 schneiden sich Gf und Gg
2) im SP stehen die graphen senkrecht zueinander
Ich weiss leider bei beiden Aufgaben nicht wie ich vorzugehen habe :( hoffe mir hilft jemand :) Danke schon mal im vorraus!
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ein weiterer Hinweis zur 2. Aufgabe ist: f(1) = [mm] \bruch{1}{g'(1)}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Bist Du sicher, dass der zusätzliche Hinweis richtig abgeschrieben ist und nicht lautet:
[mm] $f\red{'}(1) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{g'(1)}$
[/mm]
Das ist nämlich die Beziehung / Bedingung, dass diese beiden Kurven sich an der Stelle [mm] $x_S [/mm] \ = \ 1$ senkrecht schneiden.
Die zweite Bestimmungsgleichung ergibt sich zu $f(1) \ = \ g(1)$ mit:
$f(1) \ = \ [mm] b*e^1$ [/mm] sowie $g(1) \ = \ [mm] e^{a-1}$
[/mm]
(Ich nehme mal an, das $x_$ gehört bei $g(x)_$ in den Exponenten?)
Gruß
Loddar
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ja der Hinweis lautet f'(1)= - [mm] \bruch{1}{g'(1)} [/mm] .... und bei g(x) stehen a-x im exponenten :) aber dein Verfahren verstehe ich nicht ? Könntest mir die Vörgänge vll ein bischen leichter erklären? wäre dir sehr dankbar :) hast mir ja schon viel geholfen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Berechne doch mal die vier Werte $f(1)_$ , $g(1)_$ , $f'(1)_$ sowie $g'(1)_$ und setze diese in die beiden oben genannten Gleichungen ein.
Damit erhältst Du ein Gleichungssystem aus zwei Unbekannten mit 2 Gleichungen ...
Gruß
Loddar
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also soweit habe ich das jetzt verstanden hoffe das ist dann richtig :)
f(1)= [mm] be^1 [/mm] f'(1)= [mm] be^1 [/mm] oder halt f'(1) = - [mm] \bruch{1}{g'(1)}
[/mm]
[mm] g(1)=e^{a-1} g'(1)=-ae^{a-1}
[/mm]
stimmt das soweit? hoffe mal ja :) wie amche ich denn weiter?
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ups hab da nen fehler gemacht :s du hast natürlich recht das sind bei g'(x) = [mm] -e^a-1 [/mm] :) aber wie ermittle ich denn a ? und warum habe ich gerade diese Schritte gemacht mit dem x=1 einsetzen.. tut mir leid das ich soviel frage aba mir is das alles nicht so 100%ig klar :s ... hoffe du hilfst mir weiter :)
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daaanke für die Erklärung!!! :) also ich habe dann jetzt e^2a-2 = 1 zu sehen das is doch soweit korrekt oder? aba wie mach ich das denn mit dem natürlichen logarithmus? wie muss ich das denn genau anwenden hier? sry habe damit noch nicht viel gearbeitet :s
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathamatik2005!
[mm] $e^{2a-2} [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\left| \ \ln(...)$
$\ln\left(e^{2a-2}\right) \ = \ \ln(1)$
Was ergibt nun $\ln(1)$ ? Und links wie oben angedeutet das entsprechende [[Logarithmusgesetz]] anwenden ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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wow ich glaube es verstanden zu haben :)
ln(e^2a-2) = ln (1)
2a-2 * lne = 0
2a = 2
a = 1
wie mache ich jetzt weiter? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
> ln(e^2a-2) = ln (1)
> 2a-2 * lne = 0
Hier bitte Klammern nicht vergessen: [mm] $\red{(}2a-2\red{)}*\ln(e) [/mm] \ = \ 0$
> 2a = 2
> a = 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Nun müssen wir noch $b_$ berechnen.
Und wir wissen ja: [mm] $b*e^1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^{a-1}}$
[/mm]
Also den Wert $a \ = \ 1$ einsetzen und nach $b \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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also nach b umgestellt:
[mm] be^1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^0}
[/mm]
b = e^-1
soweit richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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bin ich denn jetzt fertig? weil ich sollte ja eine funktionsgleichung erstellen.... :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Um nun die gesuchte Funktionsvorschrift zu erhalten, müssen wir die ermittelten werte für $a_$ und $b_$ in diese Gleichung einsetzen:
$f(x) \ = \ [mm] a*e^x+b*e^{-x} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Ich danke dir wieder mal für deine großzügige Hilfestellung!!!! thx!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Bestimme doch mal die Ableitung [mm] $f_{a,b}'(x)$ [/mm] , setze diese gleich Null und setze [mm] $x_e [/mm] \ = \ 1$ ein. Anschließend zum Beispiel nach $b \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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Wie muss ich denn hier bei den Ableitungen verfahren?
also für f'(x) habe ich = [mm] xae^x [/mm] - xbe^-a raus ich bin mir aber nicht sicher ob das so stimmt und wie ich die 2. und 3. Ableitungen bilde :( bitte um hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Die Ableitung der e-Funktion [mm] $e^x$ [/mm] lautet: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm] .
Die e-Funktion abgeleitet ergibt als wieder die e-funktion.
Wenn nun im Exponenten etwas anderes steht als $x_$ (wie z.B. bei [mm] $e^{\red{-}x}$ [/mm] ), musst Du zusätzlich die  Kettenregel beachten.
Gruß
Loddar
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demnach lauten die Ableitungen ja so:
f'(x)= [mm] ae^x [/mm] - be^-x
f''(x)= [mm] ae^x [/mm] + be^-x
f'''(x)= [mm] ae^x [/mm] - be^-x
kann das so stimmen.... weil die Ableitung von e^-x ist ja = -e^-x
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathematik2005!
Stimmt alles soweit ...
Gruß
Loddar
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meinst du das mit dem nach 0 umstellen und xe=1 einsetzen und dann nach a und b umstellen so?
f'(x)= 0
0 = [mm] ae^x [/mm] - be^-x / x = 1
0 = [mm] ae^1 [/mm] - be^-1
umstellen
a = be^-2
b = [mm] -ae^2
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Gruß
Loddar
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gut danke! :) wars das jetzt mit Aufgabe 1 ? kann ich dann jetzt 2 machen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 So 19.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Wenn es nur um das Verhältnis zwischen $a_$ und $b_$ geht, bist Du fertig ...
Gruß
Loddar
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Ich danke dir !!! :) jetzt muss ich nur noch an Aufgabe 2 ran :) hoffe das meister ich dann auch dank deiner Hilfe :)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo kommt denn der Faktor $a_$ her?
