Bijektionen von NXN->N < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Orchis |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Abbildung [mm] (x,y)\mapsto2^{x}(2y+1) [/mm] eine Bijektion von [mm] \IN \cup{0}\times\IN\cup{0} [/mm] auf [mm] \IN [/mm] ist. |
Guten Abend zusammen,
ich sitzte gerade an dieser Übungsaufgabe und wollte einmal nachfragen, ob der Ansatz, der mir vorschwebt, so richtig sein kann, denn offen gesagt glaube ich, dass da ein Fehler in meiner Überlegung liegt. Nur will der sich hartnäckig nicht aufdecken lassen.
Um Bijektivität zu zeigen, weise ich zunächst Injektivität und dann Surjektivität nach. Bei der Injektivität würde ich normalerweise folgendermaßen vorgehen:
[mm] \forall x,x_{2},y,y_{2}\in \IN \cup{0}: 2^{x}(2y+1)=2^{x_{2}}(2y_{2}+1)
[/mm]
Am Ende müsste ich dann irgendwie darauf kommen, dass [mm] (x,y)=(x_{2}, y_{2}) [/mm] gilt, doch wie kann man das durch Äquivalenzumformungen zeigen? Nun kam mir die (wahrscheinlich Schnaps-) Idee, dass wenn man zeigt, dass [mm] 2^{x}(2y+1)=2^{x_{2}}(2y+1) \Rightarrow (x,y)=(x_{2},y) [/mm] gilt und auch [mm] 2^{x}(2y+1)=2^{x}(2y_{2}+1) \Rightarrow (x,y)=(x,y_{2}) [/mm] gilt, dass dann auch [mm] (x,y)=(x_{2},y_{2}) [/mm] gelten müsste. Ich denke aber, das man das so nicht machen darf. Was sagt ihr dazu?
Vielen Dank im Voraus schon mal. Ich will die Aufgabe auf jeden Fall alleine lösen, will aber auf keinen Fall eine Lösung niederschreiben, die falsch ist. Wenn sie es ist, dann wäre es echt super, wenn ihr den einen oder anderen kleinen Tipp hättet zum weiteren Vorgehen.
Viele Grüße
Orchis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeige, dass die Abbildung [mm](x,y)\mapsto2^{x}(2y+1)[/mm] eine
> Bijektion von [mm]\IN \cup{0}\times\IN\cup{0}[/mm] auf [mm]\IN[/mm] ist.
> Guten Abend zusammen,
> ich sitzte gerade an dieser Übungsaufgabe und wollte
> einmal nachfragen, ob der Ansatz, der mir vorschwebt, so
> richtig sein kann, denn offen gesagt glaube ich, dass da
> ein Fehler in meiner Überlegung liegt. Nur will der sich
> hartnäckig nicht aufdecken lassen.
> Um Bijektivität zu zeigen, weise ich zunächst
> Injektivität und dann Surjektivität nach. Bei der
> Injektivität würde ich normalerweise folgendermaßen
> vorgehen:
> [mm]\forall x,x_{2},y,y_{2}\in \IN \cup{0}: 2^{x}(2y+1)=2^{x_{2}}(2y_{2}+1)[/mm]
>
> Am Ende müsste ich dann irgendwie darauf kommen, dass
> [mm](x,y)=(x_{2}, y_{2})[/mm] gilt, doch wie kann man das durch
> Äquivalenzumformungen zeigen? Nun kam mir die
> (wahrscheinlich Schnaps-) Idee, dass wenn man zeigt, dass
> [mm]2^{x}(2y+1)=2^{x_{2}}(2y+1) \Rightarrow (x,y)=(x_{2},y)[/mm]
> gilt und auch [mm]2^{x}(2y+1)=2^{x}(2y_{2}+1) \Rightarrow (x,y)=(x,y_{2})[/mm]
> gilt, dass dann auch [mm](x,y)=(x_{2},y_{2})[/mm] gelten müsste.
> Ich denke aber, das man das so nicht machen darf. Was sagt
> ihr dazu?
> Vielen Dank im Voraus schon mal. Ich will die Aufgabe auf
> jeden Fall alleine lösen, will aber auf keinen Fall eine
> Lösung niederschreiben, die falsch ist. Wenn sie es ist,
> dann wäre es echt super, wenn ihr den einen oder anderen
> kleinen Tipp hättet zum weiteren Vorgehen.
> Viele Grüße
> Orchis
Hallo Orchis,
wichtig für den Beweis ist die Beobachtung, dass jede
natürliche Zahl n auf eindeutige Art in ein Produkt einer
Zweierpotenz p und einer ungeraden Zahl u zerlegt
werden kann, also
$\ n\ =\ p*u\ =\ [mm] 2^{\,k}*u\ [/mm] =\ [mm] 2^{\,k}*(2*m+1)$
[/mm]
(Ist [mm] n\in\IN [/mm] gegeben, so sind k und m [mm] (k,m\in\IN_0) [/mm]
eindeutig bestimmt)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Orchis |
Vielen Dank, das hat wirklich geholfen! Die Form 2m+1 habe ich strukturell zwar wiedererkannt, konnte aber keinen Zusammenhang zur Lösung der Frage herstellen. Naja, ich hoffe das kommt mit der Zeit noch. Jedenfalls habe ich nun einen guten Ansatz und versuche mal den Beweis per direktem Vorgehen und wenn das nicht klappen sollte, per Widerspruch durch Kontraposition.
Lg Orchis
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